Каталог по темам

Выбрано 12 задач

Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна n ctg ^π/_2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно n^n/2.

Решение

Авторы: Богданов И.И., Сухов К.

Дан многочлен P(x) = a_2nx²ⁿ + a_2n–1x^2n–1 + ... + a₁x + a₀, у которого каждый коэффициент a_i принадлежит отрезку [100, 101].
При каком минимальном натуральном n у такого многочлена может найтись действительный корень?

Решение

В каком отношении делит площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, биссектриса её острого угла?

Решение

Докажите, что произведение длин двух противоположных рёбер тетраэдра, делённое на произведение синусов двугранных углов тетраэдра, соответствующих этим рёбрам, для данного тетраэдра постоянно (теорема синусов для тетраэдра}.

Решение

Найдите высоту правильного тетраэдра с ребром a .

Решение

В треугольнике ABC угол C равен 90^o , AB = 35 , BC = 28 . Найдите cos A .

Решение

Автор: Латышев В.Н.

Разрежьте изображённую на рисунке трапецию на три части и сложите из них квадрат.

Решение

В формулу линейной функции y = kx + b вместо букв k и b впишите числа от 1 до 20 (каждое по одному разу) так, чтобы получилось 10 функций, графики которых проходят через одну и ту же точку.

Решение

В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу 3.44).

Решение

Автор: Акопян А.В.

Дан треугольник ABC. M – середина стороны BC, а P – проекция вершины B на серединный перпендикуляр к AC. Прямая PM пересекает сторону AB в точке Q. Докажите, что треугольник QPB равнобедренный.

Решение

Угол боковой грани с плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен β . Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

Решение

Автор: Бородин П.А.

Треугольник ABC с острым углом ∠A = α вписан в окружность. Её диаметр, проходящий через основание высоты треугольника, проведённой из вершины B, делит треугольник ABC на две части одинаковой площади. Найдите угол B.

Решение

Задача 116164

Задача 64343

Задача 60868

Задача 111726