Страница:
<< 75 76 77 78
79 80 81 >> [Всего задач: 2393]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Основанием пирамиды THPCK служит выпуклый четырехугольник
THPC, который диагональю HC делится на два равновеликих
треугольника. Длина ребра TH равна
4, ctg
HCP = 
. Сумма длин
ребер TK и CK равна 4. Объем пирамиды равен
5
. Найдите радиус
шара, имеющего наибольший объем среди шаров, помещающихся в
пирамиде THPCK.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Основанием пирамиды ABMCP сужит выпуклый четырехугольник ABMC,
в котором угол при вершине A равен 
/6, длина ребра AB равна
единице . Площадь треугольника BMC в два раза больше площади
треугольника ABC. Сумма длин ребер BP и CP равна 
. Объем пирамиды
равен 3/4. Найдите радиус шара, имеющего наименьший объем среди
всех шаров, помещающихся в пирамиде ABMCP.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
На поверхности сферической планеты расположены четыре материка, отделённые друг от друга океаном. Назовем точку океана особой, если для нее найдутся не менее трёх ближайших (находящихся от нее на равных расстояниях) точек суши, причём все на разных материках. Какое наибольшее число особых точек может быть на
этой планете?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
В треугольнике $ABC$ высоты $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $H$, точка $M$ — середина стороны $BC$, а $X$ — точка пересечения внутренних касательных к окружностям, вписанным в треугольники $BMF$ и $CME$. Докажите, что точки $X$, $M$ и $H$ лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
В выпуклом многограннике обозначим через B, P и T соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что {$\text{В}\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}\geqslant 2\text{Р}$}.
Например, для тетраэдра ($\text{В}=4$, $\text{Р}=6$, $\text{Т}=3$) выполняется равенство,
а для треугольной призмы ($\text{В}=6$, $\text{Р}=9$, $\text{Т}=1$) или куба ($\text{В}=8$, $\text{Р}=12$, $\text{Т}=0$) имеет место строгое неравенство.
Страница:
<< 75 76 77 78
79 80 81 >> [Всего задач: 2393]
Фильтр
