- Четырехугольная пирамида (51 задача)
- Правильная пирамида (398 задач)
- Усеченная пирамида (9 задач)
- Сфера, вписанная в пирамиду (74 задачи)
- Сфера, описанная около пирамиды (60 задач)
- Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды (33 задачи)
- Пирамида (прочее) (24 задачи)
Фильтр
Выбрано 24 задачи Убрать все задачи
В прямоугольнике АВСD точка Р – середина стороны АВ, а точка Q – основание перпендикуляра, опушенного из вершины С на PD.
Докажите, что BQ = BC.
Уравнение xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an = 0 с целыми ненулевыми коэффициентами имеет n различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа an–1 и an взаимно просты.
Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a, точка K ─ середина ребра AB, точка E лежит на ребре CD и EC : ED = 3 : 1, точка F ─ центр грани ABC. Найдите угол между прямыми BC и KE, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки A, B, E и F.
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на его гипотенузу, делит
биссектрису острого угла в отношении 4 : 3, считая от вершины.
Найдите величину этого угла.
В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что
∠EMK = 90°.
В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности, B0 – середина стороны AC. Прямая BO пересекает сторону AC в точке P, а прямые BH и A1C1 пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые HB0 и PQ параллельны.
В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны,
M – середина стороны AD. Известно, что ∠BMC = 90°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R=90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление Ry этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Rx и Ry их общее сопротивление даётся формулой R= , а для нормального функционирования электросети, общее сопротивление в ней должно быть не меньше 40 Ом.
Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a, точка K ─ середина ребра AB, точка E лежит на ребре CD и EC : ED = 1 : 3, точка F ─ центр грани ABC. Найдите угол между прямыми BC и KE, расстояние между этими прямыми и радиус сферы, проходящей через точки A, B, E и F.
Высоты AA1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка Q симметрична середине стороны AC относительно AA1. Точка P – середина отрезка A1C1. Докажите, что ∠QPH = 90°.
Вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность ω. Точка F – ортоцентр треугольника ABC; продолжение высоты CE пересекает ω в точке G. Докажите, что высота AD является касательной к описанной окружности треугольника GBF.
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a . Боковая грань образует с плоскостью основания угол равный 45o . Найдите объём пирамиды.
Шар радиуса R касается плоскости α . Рассмотрим всевозможные шары радиуса r , касающиеся данного шара и плоскости α . Найдите геометрические места центров этих шаров и точек их касания с плоскостью и данным шаром.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро равно a
и равно диагонали основания ABCD . Через точку A параллельно прямой
BD проведена плоскость P , образующая с прямой AD угол, равный
arcsin . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью
P и радиус шара, касающегося плоскости P и четырёх прямых, которым
принадлежат боковые рёбра пирамиды.
Доказать, что каковы бы ни были числа a, b, c, по крайней мере одно из уравнений
a sin x + b cos x + c = 0, 2a tg x + b ctg x + 2c = 0
имеет решение.
Докажите, что если (x+)(y+
)=1 , то x+y=0 .
В правильной треугольной пирамиде расположены два шара так, что первый касается основания пирамиды и её боковых рёбер, а второй шар касается первого шара внешним образом и также боковых рёбер пирамиды. Радиус первого шара равен R . Найдите радиус второго шара, если объём пирамиды при этих условиях является минимально возможным.
Известно, что трапеция ABCD — равнобедренная,
BCAD и BC > AD.
Трапеция ECDA также равнобедренная, причём
AE
DC и AE > DC.
Найдите BE, если известно, что косинус суммы двух углов
CDE и
BDA
равен
, а DE = 7.
Найдите радиус сферы, вписанной в конус с радиусом основания r и высотой h.
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку
M0(x0;y0;z0) перпендикулярно ненулевому
вектору = (a;b;c) .
Каких чисел больше среди натуральных чисел от 1 до 1000000 включительно: представимых в виде суммы точного квадрата и точного куба или не представимых в таком виде?
Найдите радиус сферы, описанной около конуса с радиусом основания r и высотой h.
Стороны треугольника равны a, b, c. Три шара попарно касаются друг друга и плоскости треугольника в его вершинах. Найдите радиусы шаров.
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a ,
апофема пирамиды равна a . Ортогональной проекцией
пирамиды на плоскость, перпендикулярную одной из боковых граней,
является равнобедренная трапеция. Найдите площадь этой трапеции.
Задачи Страница: << 99 100 101 102 103 104 105 >> [Всего задач: 538]
Задача 110990 |
|
|
В правильной треугольной пирамиде расположены два шара так, что первый касается основания пирамиды и её боковых рёбер, а второй шар касается первого шара внешним образом и боковых граней пирамиды. Радиус первого шара равен R . Найдите радиус второго шара, если объём пирамиды при этих условиях является минимально возможным.
|
|
Решение |
Задача 110991 |
|
|
В правильной треугольной пирамиде расположены два шара так, что первый касается основания пирамиды и её боковых граней, а второй шар касается первого шара внешним образом и боковых рёбер пирамиды. Радиус первого шара равен r . Найдите радиус второго шара, если объём пирамиды при этих условиях является минимально возможным.
|
|
|
Решение |
Задача 110992 |
|
|
В правильной треугольной пирамиде расположены два шара так, что первый касается основания пирамиды и её боковых рёбер, а второй шар касается первого шара внешним образом и также боковых рёбер пирамиды. Радиус первого шара равен R . Найдите радиус второго шара, если объём пирамиды при этих условиях является минимально возможным.
|
|
Решение |
Задача 110993 |
|
|
Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a ,
апофема пирамиды равна a . Ортогональной проекцией
пирамиды на плоскость, перпендикулярную одной из боковых граней,
является равнобедренная трапеция. Найдите площадь этой трапеции.
|
|
|
Решение |
Задача 111161 |
|
|
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро равно a
и равно диагонали основания ABCD . Через точку A параллельно прямой
BD проведена плоскость P , образующая с прямой AD угол, равный
arcsin . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью
P и радиус шара, касающегося плоскости P и четырёх прямых, которым
принадлежат боковые рёбра пирамиды.
|
|
|
Решение |
Страница: << 99 100 101 102 103 104 105 >> [Всего задач: 538]
