Многоугольник (не обязательно выпуклый), вырезанный из бумаги, перегибается по некоторой прямой и обе половинки склеиваются. Может ли периметр полученного многоугольника быть больше, чем периметр исходного?

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Может ли площадь треугольника, образованного точками пересечения этих отрезков, быть больше 0, 499S_ABC?

   Решение

Выпуклый четырехугольник разделен диагоналями на четыре треугольника. Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения медиан двух противоположных треугольников, перпендикулярна прямой, соединяющей точки пересечения высот двух других треугольников.

   Решение

Имеется две кучки камней - по 7 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

   Решение

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: Ropf; = σ ST⁴ , где σ = 5,7· 10^-8  — числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = · 1014 м² , а излучаемая ею мощность P не менее 9,12· 1015 , определите наименьшую возможную температуру этой звезды.

   Решение

Окружность радиуса r₁ касается сторон DA, AB и BC выпуклого четырехугольника ABCD, окружность радиуса r₂ — сторон AB, BC и CD; аналогично определяются r₃ и r₄. Докажите, что  + = + .

   Решение

Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число  1² + 2² + 2²). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.

   Решение

Решите систему уравнений  (n > 2) 

    x₁ – x₂ = 1.

   Решение

Докажите, что периметр остроугольного треугольника не меньше 4R.

   Решение

На бесконечном листе клетчатой бумаги (размер клетки 1×1) укладываются кости домино размером 1×2 так, что они накрывают все клетки. Можно ли при этом добиться того, чтобы любая прямая, идущая по линиям сетки, разрезала лишь конечное число костей?

   Решение

Докажите, что для любого натурального n  10ⁿ + 18n – 1  делится на 27.

   Решение

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 257]      

Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ₀, γ₁, ..., γ_n радиуса r (n ≥ 3). Окружность γ₀ касается всех окружностей γ₁, ..., γ_n; кроме того, касаются друг друга окружности γ₁ и γ₂, γ₂ и γ₃, ..., γ_n и γ₁. При каких n это возможно? Вычислите соответствующий радиус r.

Прислать комментарий

Решение

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30°. Найдите радиусы сфер.

Прислать комментарий

Решение

Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами A₁, A₂, ..., A_n, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3n отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине A₁, равны между собой. То же самое верно и для вершин A₂, A₃, ..., A_{n - 1}. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине A_n, также равны между собой.

Прислать комментарий

Решение

Три сферы попарно касаются внешним образом, а также касаются некоторой плоскости в вершинах прямоугольного треугольника с катетом 1 и противолежащим углом 30^o . Найдите радиусы сфер.

Прислать комментарий

Решение

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60^o . Внутри конуса расположены три сферы радиуса 1. Каждая сфера касается двух других, основания конуса и его боковой поверхности. Найдите радиус основания конуса.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 257]