Рассмотрим прямоугольник ABCD , в котором AB = 2 , BC = 3 . Отрезок KM параллелен AB (см.рис.), расположен на расстоянии 1 от плоскости ABCD и KM = 5 . Найдите объём многогранника ABCDKM .

   Решение

Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанию и пересекающая боковые стороны в точках E и F. Отрезок EF равен 2. Найдите основания, если их отношение равно 4.

   Решение

В треугольной пирамиде ABCD известно, что DC = 9 , DB = AD , а ребро AC перпендикулярно грани ABD . Сфера радиуса 2 касается грани ABC , ребра DC , а также грани DAB , в точке пересечения её медиан. Найдите объём пирамиды.

   Решение

В комнате находятся 85 воздушных шаров  — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный; 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?

   Решение

Вписанная окружность неравнобедренного треугольника ABC касается сторон AB, BC и ABC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Описанная окружность треугольника A₁BC₁ пересекает прямые B₁A₁ и B₁C₁ в точках A₀ и C₀ соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника A₀BC₀, центр I вписанной окружности треугольника ABC и середина M стороны AC лежат на одной прямой.

   Решение

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sinα + sinβ + sinγ > 2 .

   Решение

n – натуральное число,  n ≥ 4.  Докажите, что  n! ≥ 2ⁿ.

   Решение

В параллелограмме ABCD опустили перпендикуляр BH на сторону AD. На отрезке BH отметили точку M, равноудалённую от точек C и D. Пусть точка K – середина стороны AB. Докажите, что угол MKD прямой.

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 74]      

В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с высотами, проведенными из двух вершин, и биссектрисой, проведенной из третьей вершины, после чего сам треугольник стерли. Восстановите его.

Прислать комментарий

Решение

В параллелограмме ABCD опустили перпендикуляр BH на сторону AD. На отрезке BH отметили точку M, равноудалённую от точек C и D. Пусть точка K – середина стороны AB. Докажите, что угол MKD прямой.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD описан около окружности. Биссектрисы внешних углов A и B пересекаются в точке K , внешних углов B и C – в точке L , внешних углов C и D – в точке M , внешних углов D и A – в точке N . Пусть K₁ , L₁ , M₁ , N₁ – точки пересечения высот треугольников ABK , BCL , CDM , DAN соответственно. Докажите, что четырехугольник K₁L₁M₁N₁ – параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

Вокруг квадрата описан параллелограмм. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин параллелограмма на стороны квадрата, образуют квадрат.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C₁. Точки A₁, B₁ определены аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке;
  б) треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 74]