Найти все числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

   Решение

Прямоугольники P и Q равновелики, но у P диагональ больше. Двумя копиями P можно накрыть Q. Докажите, что двумя копиями Q можно накрыть P.

   Решение

а) Доказать, что для любых положительных чисел  x₁, x₂, ..., x_k  (k > 3)  выполняется неравенство:

б) Доказать, что это неравенство ни для какого  k > 3  нельзя усилить, то есть доказать, что для каждого фиксированного k нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы полученное неравенство было справедливо для любого набора из k положительных чисел.

   Решение

Из полного 100-вершинного графа выкинули 98 рёбер. Доказать, что он остался связным.

   Решение

В мешке изюма содержится 2001 изюминка общим весом 1001 г, причём ни одна изюминка не весит больше 1,002 г.
Докажите, что весь изюм можно разложить на две чаши весов так, чтобы они показали разность, не превосходящую 1 г.

   Решение

В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. От трапеции остались: вершина $A$, центр вписанной окружности $I$, описанная окружность $\omega$ и ее центр $O$. Восстановите трапецию с помощью одной лишь линейки.

   Решение

На конференции присутствуют 50 учёных, каждый из которых знаком по крайней мере с 25 участниками конференции.
Докажите, что найдутся четверо из них, которых можно усадить за круглый стол так, чтобы каждый сидел рядом со знакомыми ему людьми.

   Решение

Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечётные цифры.

   Решение

Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.

   Решение

Пусть R₁, R₂ и R₃ – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что  ¹/_R1 + ¹/_R2 + ¹/_R3 ≤ ¹/_r,  где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.

   Решение

Какое слагаемое в разложении  (1 + )¹⁰⁰  по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?

   Решение

Докажите, что     тогда и только тогда, когда β можно получить из α проделав несколько (может быть один раз или ни одного) операции вида

(Эти операции можно представлять себе как сбрасывание одного кирпича вниз на диаграмме Юнга. Про диаграммы Юнга смотри здесь.)

   Решение

Даны две окружности радиусов R и r, одина вне другой. К ним проведены две общие внешние касательные. Найдите их длину (между точками касания), если их продолжения образуют прямой угол. (R > r).

   Решение

Решить в целых числах уравнение  x + y = x² – xy + y².

   Решение

К окружности с диаметром АС проведена касательная ВС. Отрезок АВ пересекает окружность в точке D. Через точку D проведена еще одна касательная к окружности, пересекающая отрезок ВС в точке K. В каком отношении точка K разделила отрезок ВС?

   Решение

На отрезке AC взята точка B, и на отрезках AB, BC и CA построены полуокружности S₁, S₂ и S₃ по одну сторону от AC; D — точка на S₃, проекция которой на AC совпадает с точкой B. Общая касательная к S₁ и S₂ касается этих полуокружностей в точках F и E соответственно. Докажите, что

а) прямая EF параллельна касательной к S₃, проведённой через точку D;

б) BFDE — прямоугольник.

   Решение

Страница: << 86 87 88 89 90 91 92 >> [Всего задач: 772]      

На отрезке AC взята точка B, и на отрезках AB, BC и CA построены полуокружности S₁, S₂ и S₃ по одну сторону от AC; D — точка на S₃, проекция которой на AC совпадает с точкой B. Общая касательная к S₁ и S₂ касается этих полуокружностей в точках F и E соответственно. Докажите, что

а) прямая EF параллельна касательной к S₃, проведённой через точку D;

б) BFDE — прямоугольник.

Прислать комментарий

Решение

Найдите расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники ABC и CDA, со стороной AC, если

а) AB = 5, BC = 7, CD = DA;

б) AB = 7, BC = CD, DA = 9.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

Прямая OA касается окружности в точке A, а хорда BC параллельна OA. Прямые OB и OC вторично пересекают окружность в точках K и L.
Докажите, что прямая KL делит отрезок OA пополам.

Прислать комментарий

Решение

Из точки A к окружности радиусом R проводится касательная AM (M — точка касания). Секущая, проходящая через точку A, пересекает окружность в точках K и L, причём L — середина отрезка AK, а угол AMK равен 60^o. Найдите площадь треугольника AMK.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 86 87 88 89 90 91 92 >> [Всего задач: 772]