Каталог по темам

Выбрана 21 задача

Можно ли n раз рассадить 2n + 1 человека за круглым столом так, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза, если а) n = 5; б) n = 10?

Решение

M и N — точки пересечения двух окружностей с центрами O₁ и O₂. Прямая O₁M пересекает 1-ю окружность в точке A₁, а 2-ю в точке A₂. Прямая O₂M пересекает 1-ю окружность в точке B₁, а 2-ю в точке B₂. Доказать, что прямые A₁B₁, A₂B₂ и MN пересекаются в одной точке.

Решение

Автор: Заславский А.А.

Пусть $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$, точка $D$ — ее середина, $E$ — проекция $D$ на $AB$. Известно, что $AC = 3 AE$. Докажите, что треугольник $CEL$ равнобедренный.

Решение

В алфавите племени Мумбу-Юмбу есть лишь две буквы A и Б. Два разных слова обозначают одно и то же понятие, если одно из них может быть получено из другого с помощью следующих операций:
1) в любом месте слова комбинацию букв АБА можно заменить на БАБ;
2) из любого места можно выкидывать две одинаковые буквы, идущие подряд.
а) Может ли дикарь племени сосчитать все пальцы на своей руке?
б) А дни недели?

Решение

В трапеции ABCD одно основание в два раза больше другого. Меньшее основание равно c. Диагонали трапеции пересекаются под прямым углом, а отношение боковых сторон равно k. Найдите боковые стороны трапеции.

Решение

Пусть AE и CD – биссектрисы треугольника ABC, ∠BED = 2∠AED и ∠BDE = 2∠EDC. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Решение

Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слов
а) ВЕКТОР;
б) ЛИНИЯ;
в) ПАРАБОЛА;
г) БИССЕКТРИСА;
д) МАТЕМАТИКА.

Решение

Автор: Сидоров М.И.

m и n – натуральные числа, m < n. Докажите, что

Решение

Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12.

Решение

Автор: Белухов Н.

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна $p$ – 1.

Решение

В окружности радиуса R проведены хорда AB и диаметр AC. Хорда PQ, перпендикулярная диаметру AC, пересекает хорду AB в точке M. Известно, что AB = a, PM : MQ = 3. Найдите AM.

Решение

Точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Докажите, что если (ABCD) = 1, то либо A = B, либо C = D.

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Раскрашенный в чёрный и белый цвета кубик с гранью в одну клетку поставили на одну из клеток шахматной доски и прокатили по ней так, что кубик побывал на каждой клетке ровно по одному разу. Можно ли так раскрасить кубик и так прокатить его по доске, чтобы каждый раз цвета клетки и соприкоснувшейся с ней грани совпадали?

Решение

Автор: Михайлов И.

Прямая $\ell$, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, касается его вписанной окружности и пересекает его описанную окружность в точках $D$ и $E$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $AI^2 = AD\cdot AE$.

Решение

Точка M – середина стороны CD параллелограмма ABCD, точка H – проекция вершины B на прямую AM.
Докажите, что треугольник CBH равнобедренный.

Решение

Сколькими способами можно выбрать из 15 различных слов набор, состоящий не более чем из пяти слов?

Решение

Сторона BC четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Найдите сторону AB, если BC = 8, BD = 4 $\sqrt{2}$ , $\angle$ DCA : $\angle$ ACB = 2 : 1.

Решение

При помощи задачи 60752 докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида p = 4k + 1.

Решение

Автор: Фольклор

Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.

Решение

Докажите, что p_n+1 ≤ 2^2ⁿ + 1, где p_n – n-е простое число.

Решение

Около трапеции ABCD описана окружность, центр которой лежит на основании AD. Найдите площадь трапеции, если AB = ${\frac{3}{4}}$ , AC = 1.

Решение

Задача 52972

Задача 52973

Задача 52991

Задача 54472

Задача 55511