Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM была бы наименьшей.

   Решение

Дан угол XAY. Концы B и C отрезков BO и CO длиной 1 перемещаются по лучам AX и AY. Постройте четырехугольник ABOC наибольшей площади.

   Решение

Было семь ящиков. В некоторые из них положили еще по семь ящиков (не вложенных друг в друга) и т. д. В итоге стало 10 непустых ящиков.
Сколько всего стало ящиков?

   Решение

Дан угол XAY и точка O внутри его. Проведите через точку O прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшей площади.

   Решение

Доказать, что  n³ + 5n  делится на 6 при любом целом n.

   Решение

Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?

   Решение

Среди всех решений системы
    x² + y² = 4,
    z² + t² = 9,
    xt + yz = 6
выберите те, для которых величина  x + z  принимает наибольшее значение.

   Решение

Дан равнобедренный треугольник ABC с вершиной A. Длина прыжка кузнечика равна основанию BC. Известно, что начиная движение из точки C, кузнечик за 22 прыжка оказался в точке A, приземляясь после каждого прыжка на боковой стороне треугольника ABC и чередуя стороны при каждом прыжке, кроме последнего. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что с каждым прыжком кузнечик приближался к точке A.

   Решение

На стороне AD квадрата ABCD во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник AED. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр AF, на стороне CD выбрана точка G так, что  CG = DF.  Докажите, что угол BGE меньше половины угла AED.

   Решение

Докажите, что сумма квадратов длин проекций сторон правильного n-угольника на любую прямую равна  ½ na²,  где a – сторона n-угольника.

   Решение

На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости:  а) 5 кругов;   б) 4 круга, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее двух кругов?

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = 3 и BC = 4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся катета BC. Найдите длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.

   Решение

Отрезок, соединяющий вершину A треугольника ABC с центром Q вневписанной окружности, касающейся стороны BC, пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Докажите, что треугольник BDQ – равнобедренный.

   Решение

В треугольной пирамиде ABCD известно, что AB = 8, CD = 12, расстояние между прямыми AB и CD равно 6, а объем пирамиды равен 48. Найдите угол между прямыми AB и CD.

   Решение

Даны точки A(1;0;1) , B(-2;2;1) , C(2;0;3) и D(0;4;-2) . Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC .

   Решение

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

   Решение

В государстве царя Додона расположено 500 городов, каждый из которых имеет форму правильной 37-угольной звезды, в вершинах которой находятся башни. Додон решил обнести их выпуклой стеной так, чтобы каждый отрезок стены соединял две башни. Доказать, что стена будет состоять не менее чем из 37 отрезков. (Если несколько отрезков лежат на одной прямой, то они считаются за один.)

   Решение

Отрезок AB ( AB = 1 ), являющийся хордой сферы радиуса 1, расположен под углом 60^o к диаметру CD этой сферы. Расстояние от конца C диаметра до ближайшего к нему конца A хорды AB равно . Найдите BD .

   Решение

Даны две единичные окружности ω₁ и ω₂, пересекающиеся в точках A и B. На окружности ω₁ взяли произвольную точку M, а на окружности ω₂ точку N. Через точки M и N провели ещё две единичные окружности ω₃ и ω₄. Обозначим повторное пересечение ω₁ и ω₃ через C, повторное пересечение окружностей ω₂ и ω₄ – через D. Докажите, что ACBD – параллелограмм.

   Решение

ABCD – выпуклый четырёхугольник. Известно, что  ∠CAD = ∠DBA = 40°,  ∠CAB = 60°,  ∠CBD = 20°.  Найдите угол CDB.

   Решение

На прямой отмечено четыре точки и ещё одна точка отмечена вне прямой. Всего существует шесть треугольников с вершинами в этих точках.
Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными?

   Решение

Даны треугольник ABC и некоторая точка T. Пусть P и Q — основания перпендикуляров, опущенных из точки T на прямые AB и AC соответственно, a R и S — основания перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые TC и TB соответственно. Докажите, что точка пересечения X прямых PR и QS лежит на прямой BC.

   Решение

На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости   а) 7 кругов;  б) 6 кругов, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее трёх кругов?

   Решение

Постройте треугольник по высоте и медиане, проведённым из одной вершины, и высоте, проведённой из другой вершины.

   Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 330]      

Окружность касается двух параллельных прямых l и m в точках A и B соответственно; CD — диаметр окружности, параллельный этим прямым. Прямая BC пересекает прямую l в точке E, а прямая ED — прямую m в точке F. Найдите углы треугольника BEF.

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = 3 и BC = 4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся катета BC. Найдите длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите модуль разности отрезков BC и BD, если расстояние между центрами окружностей равно a, а центры окружностей лежат по одну сторону от общей хорды AB.

Прислать комментарий

Решение

Постройте треугольник по высоте и медиане, проведённым из одной вершины, и высоте, проведённой из другой вершины.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 330]