Версия для печати
Убрать все задачи

---

В Чикаго орудует 36 преступных банд, некоторые из которых враждуют между собой. Каждый гангстер состоит в нескольких бандах, причём каждые два гангстера состоят в разных наборах банд. Известно, что ни один гангстер не состоит в двух бандах, враждующих между собой. Кроме того, оказалось, что каждая банда, в которой не состоит некоторый гангстер, враждует с какой-то бандой, в которой данный гангстер состоит. Какое наибольшее количество гангстеров может быть в Чикаго?

   Решение

---

Ладья стоит на левом поле клетчатой полоски 1×30 и за ход может сдвинуться на любое количество клеток вправо.
  а) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля?
  б) Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля ровно за семь ходов?

   Решение

---

В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB, пересекает сторону AC в точке M, причём  ^MA/_MC = 3.  Перпендикуляр, проходящий через середину стороны AC, пересекает сторону AB в точке N, причём  ^AN/_BN = 2.  Найдите углы треугольника ABC.

   Решение

---

Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.

   Решение

---

Какое наибольшее число точек можно разместить a) на плоскости; б)* в пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным?
(Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно точек.)

   Решение

---

Касательные к описанной вокруг треугольника ABC окружности, проведённые в точках A и B, пересекаются в точке P.
Докажите, что прямая PC пересекает сторону AB в точке K, делящей её в отношении   AC² : BC².

   Решение

---

Имеются два сосуда. В них разлили 1 л воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет л и л с точностью до 1 миллилитра.

   Решение

---

Пусть $M$ – середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность, проходящая через $C$ и $M$, пересекает прямые $BC$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть $c_1, c_2$ – окружности с центрами $P$, $Q$ и радиусами $BP$, $AQ$ соответственно. Докажите, что $c_1$, $c_2$ и описанная окружность треугольника $ABC$ проходят через одну точку.

   Решение

---

В кооперативе из 11 человек имеется партячейка. На каждом собрании ячейки происходит либо приём одного члена в партию, либо исключение из партии одного человека. В партячейке не может быть меньше трёх человек. Возвращаться к какому-либо из прежних составов партячейки запрещено уставом. Может ли к какому-то моменту оказаться, что все варианты состава ячейки реализованы?

 

   Решение

---

В остроугольном треугольнике АВС биссектриса AN, высота BH и прямая, перпендикулярная стороне АВ и проходящая через ее середину, пересекаются в одной точке. Найдите угол ВАС.

   Решение

---

На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD взяты соответственно точки N, K, L, M, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что KLMN – также квадрат.

   Решение

---

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, касается гипотенузы в точке M. Найдите расстояние от точки M до вершины прямого угла.

   Решение

---

Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C₁. Точки A₁, B₁ определены аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке;
  б) треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

   Решение

---

Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон.
Докажите, что этот четырёхугольник – трапеция или параллелограмм.

   Решение

---

Сколькими способами можно сделать трёхцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

   Решение

---

На стороне AB треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Прямая DE делит площадь треугольника ABC пополам и образует с прямой AB угол 15^o. Найдите углы треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 306]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 54810

Темы:   [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На стороне AB треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Прямая DE делит площадь треугольника ABC пополам и образует с прямой AB угол 15^o. Найдите углы треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64913

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C₁. Точки A₁, B₁ определены аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке;
  б) треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66017

Темы:   [ Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательная окружность ] [ Теорема синусов ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Удвоение медианы ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота BH. Перпендикуляр, восстановленный в точке M к прямой AM, пересекает луч HB в точке K. Докажите, что если  ∠MAC = 30°,  то  AK = BC.