Каталог по темам

Выбрано 16 задач

Докажите равенство:

arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ + arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{5}}$ + arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{7}}$ + arctg $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ = $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ .

Решение

Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углам, которые образует медиана с этой стороной.

Решение

Основание AC равнобедренного треугольника ABC является хордой окружности, центр которой лежит внутри треугольника ABC. Прямые, проходящие через точку B, касаются окружности в точках D и E. Найдите площадь треугольника DBE, если AB = BC = 2, ∠B = 2 arcsin , а радиус окружности равен 1.

Решение

Докажите, что число 10...050...01 (в каждой из двух групп по 100 нулей) не является кубом целого числа.

Решение

На листе бумаги отмечены точки A, B, C, D. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник ABCD квадратом?

Решение

Автор: Егоров А.А.

Известно, что уравнение x⁴ + ax³ + 2x² + bx + 1 = 0 имеет действительный корень. Докажите неравенство a² + b² ≥ 8.

Решение

Что больше: или

Решение

Авторы: Полянский Н., Скробот Д.

В четырёхугольнике ABCD вписанная окружность ω касается сторон BC и DA в точках E и F соответственно. Оказалось, что прямые AB, FE и CD пересекаются в одной точке S. Описанные окружности Ω и Ω₁ треугольников AED и BFC, вторично пересекают окружность ω в точках E₁ и F₁. Докажите, что прямые EF и E₁F₁ параллельны.

Решение

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной b, проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой между точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами равен m. Найдите основание треугольника.

Решение

В окружность с центром O вписана трапеция ABCD (BC || AD). В этой же окружности проведены диаметр CE и хорда BE, пересекающая AD в точке F. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки F на CE, S – середина отрезка EO, M – середина BD. Известно, что радиус окружности равен R, а CH = ^9R/₈. Найдите SM.

Решение

В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания вписанного круга в отношении 7:5 (начиная от вершины). Найдите отношение боковой стороны к основанию.

Решение

С числом разрешается производить две операции: ``увеличить в два раза'' и ``увеличить на 1''. За какое наименьшее число операций можно из числа 0 получить
а) число 100; б) число n?

Решение

Докажите, что в прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований.

Решение

Дано 100 чисел a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀₀, удовлетворяющих условиям:
a₁ – 3a₂ + 2a₃ ≥ 0,
a₂ – 3a₃ + 2a₄ ≥ 0,
a₃ – 3a₄ + 2a₅ ≥ 0,
...,
a₉₉ – 3a₁₀₀ + 2a₁ ≥ 0,
a₁₀₀ – 3a₁ + 2a₂ ≥ 0.
Доказать, что все числа a_i равны между собой.

Решение

Автор: Ясинский В.

Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Внутри треугольника APQ взята точка M. Отрезки MB и MC пересекают отрезок PQ в точках E и F соответственно. Пусть N – вторая точка пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников PMF и QME. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.

Решение

Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и её основаниями, равны S₁ и S₂. Найдите площадь трапеции.

Решение

Задача 52429

Задача 53700

Задача 54971

Задача 55011

Задача 55019