Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Докажите, что если а < 1, b < 1 и a + b ≥ 0,5, то (1 – a)(1 – b) ≤ 9/16.
Объединение нескольких кругов имеет площадь 1. Доказать, что из них можно
выбрать несколько попарно непересекающихся кругов, сумма площадей которых
больше . (Сравни с задачей 78201.)
В равнобедренной трапеции высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.
Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке
K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A
и B и пересекает их общую касательную, проходящую через точку K, в
точке M. Докажите, что
O1MO2 =
AKB = 90o.
Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причём Катя выпила четверть всего молока и шестую часть всего кофе.
Сколько человек в семье?
Площадь треугольника ABC равна 1, AC = 2BC, точка K — середина стороны AC. Окружность с центром в точке K пересекает сторону AB в точках M и N, при этом AM = MN = NB. Найдите площадь части треугольника ABC, заключённой внутри круга.
10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие.
Разрешены две операции:
а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;
б) перевернуть четыре фишки, расположенные так: ××0×× (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).
Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?
a, b, c ≥ 0. Докажите, что .
Около окружности описана равнобедренная трапеция с углом 30o . Её средняя линия равна 10. Найдите радиус окружности.
Известно, что (m, n) > 1. Что больше φ(mn) или φ(m)φ(n)? Определение функции φ(n) см. в задаче 60758.
В треугольнике ABC проведены высоты AH, BK и CL. Докажите, что AK·BL·CH = AL·BH·CK = HK·KL·LH.
В трапеции ABCD ( BC || AD ) известно, что AB = c и расстояние от середины отрезка CD до прямой AB равно d . Найдите площадь трапеции.
Решите уравнения а) φ(x) = 2; б) φ(x) = 8; в) φ(x) = 12; г) φ(x) = 14.
Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке D. Прямая касается одной из этих окружностей в точке A и пересекает другую в точках B и C. Докажите, что точка A равноудалена от прямых BD и CD.
Задачи Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 66]
Задача 55514 |
|
|
Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке D. Прямая касается одной из этих окружностей в точке A и пересекает другую в точках B и C. Докажите, что точка A равноудалена от прямых BD и CD.
|
|
Решение |
Задача 53873 |
|
|
На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 соответственно. Докажите, что если
|
|
Решение |
Задача 64977 |
|
|
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Биссектрисы его углов образуют четырёхугольник, вписанный в окружность с центром I, а биссектрисы внешних углов – четырёхугольник, вписанный в окружность с центром J. Докажите, что O – середина отрезка IJ.
|
|
|
Решение |
Задача 53392 |
|
|
В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что CB = BE.
|
|
|
Решение |
Задача 53993 |
|
|
Прямая, проходящая через центры двух окружностей называется их линией центров.
Докажите, что общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров этих окружностей.
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 66]
