Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Касательные прямые и касающиеся окружности
>>
Касательные прямые и касающиеся окружности (прочее)
Фильтр
Выбрано 20 задач Убрать все задачи
Расстояния от центра описанной окружности остроугольного
треугольника до его сторон равны da, db и dc. Докажите,
что
da + db + dc = R + r.
С помощью циркуля и линейки постройте выпуклый четырёхугольник по серединам его трёх равных сторон.
Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиус не меньше ½.
Сумма трёх натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9.
Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.
Дан трехгранный угол с вершиной O. Можно ли найти такое плоское сечение ABC, чтобы углы OAB, OBA, OBC, OCB, OAC, OCA были острыми?
Две окружности разных радиусов касаются в точке C одной прямой и расположены по одну сторону от неё. Отрезок CD – диаметр большей окружности. Из точки D проведены две прямые, касающиеся меньшей окружности в точках A и B. Прямая, проходящая через точки C и A, образует с общей касательной к окружностям в точке C угол 75° и пересекает большую окружность в точке M. Известно, что AM = . Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных DA, DB и дугой ACB меньшей окружности.
Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает
описанную окружность в точке D. Докажите, что
AB + AC 2AD.
Игра происходит на бесконечной плоскости. Играют двое: один передвигает одну фишку-волка, другой – 50 фишек-овец. После хода волка ходит одна из овец, затем, после следующего хода волка, опять какая-нибудь из овец и т. д. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более, чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции волк поймает хотя бы одну овцу?
На сторонах произвольного остроугольного
треугольника ABC как на диаметрах построены окружности.
При этом образуется три к внешнихк криволинейных треугольника
и один к внутреннийк (рис.). Докажите, что если из
суммы площадей к внешнихк треугольников вычесть площадь
к внутреннегок треугольника, то получится удвоенная площадь
треугольника ABC.
Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.
Докажите. что если в трапеции ABCD середину M одной боковой стороны AB соединить с концами другой боковой стороны CD, то площадь полученного треугольника CMD составит половину площади трапеции.
Докажите, что n³ – n делится на 24 при любом нечётном n.
Точки A', B' и C' симметричны некоторой точке P
относительно сторон BC, CA и AB треугольника ABC.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников AB'C', A'BC', A'B'C
и ABC имеют общую точку.
б) Докажите, что описанные окружности треугольников A'BC, AB'C, ABC'
и A'B'C' имеют общую точку Q.
в) Пусть I, J, K и O — центры описанных окружностей
треугольников
A'BC, AB'C, ABC' и A'B'C'. Докажите, что
QI : OI = QJ : OJ = QK : OK.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Точка X такова, что
BAX =
CDX = 90o. Докажите, что точка пересечения диагоналей
четырехугольника ABCD лежит на прямой XO.
а) Докажите, что в выпуклый многоугольник площади S и
периметра P можно поместить круг радиуса S/P.
б) Внутри выпуклого многоугольника площади S1 и периметра P1
расположен выпуклый многоугольник площади S2 и периметра P2.
Докажите, что
2S1/P1 > S2/P2.
В сегмент, ограниченный хордой и дугой AB окружности, вписана окружность ω с центром I. Обозначим середину указанной дуги AB через M, а середину дополнительной дуги через N. Из точки N проведены две прямые, касающиеся ω в точках C и D. Противоположные стороны AD и BC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Y, а его диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что точки X, Y, I и M лежат на одной прямой.
Докажите, что для любого натурального n существует выпуклый многоугольник, имеющий ровно n осей симметрии.
Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45o . Найдите сторону основания, если объём пирамиды равен 18.
Известно, что множество M точек на прямой может быть покрыто тремя отрезками длины 1.
Каким наименьшим числом отрезков длины 1 можно заведомо покрыть множество середин отрезков с концами в точках множества M?
Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окружности, пересекаются в точках M и N. Докажите, что прямая MN проходит через середину C дополнительной дуги данного сегмента AB.
Задачи Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]
Задача 56701 |
|
|
Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окружности, пересекаются в точках M и N. Докажите, что прямая MN проходит через середину C дополнительной дуги данного сегмента AB.
|
|
Решение |
Задача 111699 |
|
Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность S1 касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N . Докажите, что а) прямая MN проходит через середину P второй дуги; б) длина касательной PQ к окружности S1 равна PA .
|
|
Решение |
Задача 111700 |
|
Из точки D окружности S опущен перпендикуляр DC на диаметр AB . Окружность S1 касается отрезка CA в точке E , а также отрезка CD и окружности S . Докажите, что DE — биссектриса треугольника ADC .
|
|
|
Решение |
Задача 64924 |
|
В сегмент, ограниченный хордой и дугой AB окружности, вписана окружность ω с центром I. Обозначим середину указанной дуги AB через M, а середину дополнительной дуги через N. Из точки N проведены две прямые, касающиеся ω в точках C и D. Противоположные стороны AD и BC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Y, а его диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что точки X, Y, I и M лежат на одной прямой.
|
|
|
Решение |
Задача 66680 |
|
|
К описанной окружности треугольника $ABC$ проведены касательные в точках $B$ и $C$. Лучи $CC_1$, $BB_1$, где $B_1$ и $C_1$ – середины сторон $AC$ и $AB$, пересекают эти касательные в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle BAK=\angle CAL$.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]
