Версия для печати
Убрать все задачи
Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках A, B, C, D, что AB = CD, AD = BC и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в A и C, равна сумме чисел в клетках с центрами B и D.
Решение
Петя подсчитал количество всех возможных m-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только четыре буквы T, O, W и N, причём в каждом слове букв T и O поровну. Вася подсчитал количество всех возможных 2m-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только две буквы T и O, и в каждом слове этих букв поровну. У кого слов получилось больше? (Слово – это любая последовательность букв.)
Решение
Даны две пересекающиеся окружности радиуса
R, причем
расстояние между их центрами больше
R. Докажите, что
β = 3α (рис.).
Решение
В квадратной песочнице, засыпанной ровным слоем песка
высотой 1, Маша и Паша делали куличи при помощи цилиндрического
ведёрка высоты 2. У Маши все куличи удались, а у Паши — рассыпались
и превратились в конусы той же высоты. В итоге весь песок ушёл на
куличи, поставленные на дне песочницы отдельно друг от друга. Чьих
куличей оказалось в песочнице больше: Машиных или Пашиных?
Решение
Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?
Решение
Дан прямоугольный параллелепипед
ABCDA1
B1
C1
D1
, в котором
AB =4
,
AD = 2
,
AA1
= 6
. Точка
N – середина ребра
CD , точка
M расположена на ребре
CC1
, причём
C1
M:CM = 1
:2
,
K – точка
пересечения диагоналей грани
AA1
D1
D . Найдите угол между прямыми
KM и
A1
N .
Решение
Докажите, что существует проективное преобразование, которое данную
окружность переводит в окружность, а данную хорду — в ее диаметр.
Решение
Числа от 1 до 9 разместите в кружках фигуры (см. рис.) так, чтобы сумма четырёх чисел, находящихся в кружках-вершинах всех квадратов (их шесть), была постоянной.
Решение
Анаграммой называется произвольное слово, полученное из данного слова
перестановкой букв. Сколько анаграмм можно составить из слов:
а) "точка"; б) "прямая"; в) "перешеек"; г) "биссектриса"; д) "абракадабра"; е) "комбинаторика"?
Решение
Окружность задана уравнением
f (
x,
y) = 0, где
f (
x,
y) =
x2 +
y2 +
ax +
by +
c.
Докажите, что степень точки (
x0,
y0) относительно этой окружности равна
f (
x0,
y0).
Решение
Фильтр
