Графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в двух точках. В обеих точках касательные к графикам перпендикулярны.
Верно ли, что оси симметрии графиков совпадают?

   Решение

На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые l₁ и l₂. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на l₁, равны, и отрезки, высекаемые графиками на l₂, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.

   Решение

В Солнечной долине 10 посёлков. Однажды статистики долины провели исследование численности жителей в посёлках. Обнаружили следующее.
  1. Число жителей в любых двух посёлках долины отличается не более чем на 100 человек.
  2. В посёлке Знойное ровно 1000 жителей, что превышает среднюю численность населения посёлков долины на 90 человек.
Сколько жителей в посёлке Радужный, который также расположен в Солнечной долине?

   Решение

Графики квадратного трёхчлена и его производной разбивают координатную плоскость на четыре части. Сколько корней имеет этот квадратный трёхчлен?

   Решение

Графики трёх функций  y = ax + a,  y = bx + b  и  y = cx + d  имеют общую точку, причём  a ≠ b.  Обязательно ли  c = d?

   Решение

Сфера ω проходит через вершину S пирамиды SABC и пересекает рёбра SA, SB и SC вторично в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (ABC). Точки A₂, B₂ и C₂ симметричны точкам A₁, B₁ и C₁ относительно середин рёбер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки A, B, C, A₂, B₂ и C₂ лежат на одной сфере.

   Решение

Пусть m, n и k – натуральные числа, причём  m > n.  Какое из двух чисел больше:

    или  

(В каждом выражении k знаков квадратного корня, m и n чередуются.)

   Решение

Разложите многочлен  a³ + b³ + c³ – 3abc  на три линейных множителя.

   Решение

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A₁ и C₁, а описанную окружность этого треугольника – в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямые A₁C₁ и A₀C₀ пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.

   Решение

Дан треугольник ABC . На его стороне AB выбирается точка P и через неё проводятся прямые PM и PN , параллельные AC и BC соответственно (точки M и N лежат на сторонах BC и AC ); Q — точка пересечения описанных окружностей треугольников APN и BPM , отличная от P . Докажите, что все прямые PQ проходят через фиксированную точку.

   Решение

Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них – 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок – целое число.
Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз.

   Решение

Основание пирамиды ABCS – равносторонний треугольник ABC со стороной 4 . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC , а другая проходит через точку C и середину ребра AB .

   Решение

Даны точки M(2;-5;0) , N(3;0;4) , K(-2;2;0) и L (3;2;1). Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку L параллельно плоскости MNK .

   Решение

Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B". Первое слово в последовательности – "A", k-е слово получается из (k–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...
  а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?
  б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.

   Решение

На клетчатой бумаге даны произвольные n клеток. Докажите, что из них можно выбрать не менее n/4 клеток, не имеющих общих точек.

   Решение

В пространстве расположено n отрезков, никакие три из которых не параллельны одной плоскости. Для любых двух отрезков прямая, соединяющая их середины, перпендикулярна обоим отрезкам. При каком наибольшем n это возможно?

   Решение

Докажите, что если  f(x) – многочлен, степень которого меньше n, то дробь     (x₁, x₂, ..., x_n  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы n простейших дробей:  
где  A₁, A₂, ..., A_n  – некоторые константы.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

Опишите явный вид многочлена  f(x) = f₁(x) + f₂(x) + ... + f_n(x),  где  f_i(x) – многочлены из задачи 61050.

Прислать комментарий

Решение

Пусть A, B и C – остатки от деления многочлена P(x) на  x – a,  x – b  и  x – c.
Найдите остаток от деления того же многочлена на произведение  (x – a)(x – b)(x – c).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если  f(x) – многочлен, степень которого меньше n, то дробь     (x₁, x₂, ..., x_n  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы n простейших дробей:  
где  A₁, A₂, ..., A_n  – некоторые константы.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если многочлен  f(x) степени n принимает целые значения в точках  x = 0, 1, ..., n,  то он принимает целые значения во всех целых точках.

Прислать комментарий

Решение

Дана функция f(x), значение которой при любом целом x целое. Известно, что для любого простого числа p существует такой многочлен Q_p(x) степени, не превышающей 2013, с целыми коэффициентами, что  f(n) – Q_p(n)  делится на p при любом целом n. Верно ли, что существует такой многочлен g(x) с вещественными коэффициентами , что  g(n) = f(n)  для любого целого n?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]