Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 19 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Женя не успел влезть в лифт на первом этаже дома и решил пойти по лестнице. На третий этаж он поднимается за 2 минуты. Сколько времени у него займет подъем до девятого этажа?

Вниз   Решение


Угловая величина дуги AB равна  α < 90°.  На продолжении радиуса OA отложен отрезок AC, равный хорде AB, и точка C соединена с B. Найдите угол ACB.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC угол C прямой. Из центра C радиусом AC описана дуга ADE, пересекающая гипотенузу в точке D, а катет CB – в точке E.
Найдите угловые величины дуг AD и DE, если  ∠B = 40°.

ВверхВниз   Решение


Может ли число, получаемое выписыванием в строку друг за другом целых чисел от 1 до n ( n>1 ), одинаково читаться слева направо и справа налево?

ВверхВниз   Решение


Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
  а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
  б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.

ВверхВниз   Решение


Найдите коэффициент при x у многочлена  (x – a)(x – b)(x – c)...(x – z).

ВверхВниз   Решение


Даны треугольник ABC и ромб BDEF, все вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC, а угол при вершине E – тупой.
Найдите площадь треугольника ABC, если  AE = 3,  CE = 7,  а радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1.

ВверхВниз   Решение


Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точки Z и W переходят в Z* и W*. Докажите, что середина отрезка Z*W* лежит на вписанной окружности.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиус не меньше ½.

ВверхВниз   Решение


Про приведённый многочлен  P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0  с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном
m ≥ 2  многочлен    имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен P(x) имеет действительные корни, причём только положительные?

ВверхВниз   Решение


Постройте прямоугольный треугольник по катету и отношению второго катета к гипотенузе.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Точки K и L – середины сторон АВ и ВС правильного шестиугольника АВСDEF. Отрезки KD и LE пересекаются в точке М. Площадь треугольника DEM равна 12. Найдите площадь четырёхугольника KBLM.

ВверхВниз   Решение


Прямая, проходящая через вершину B треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, а описанную окружность в точке M.
Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников AMK.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если окружность ортогональна двум окружностям пучка, то она ортогональна и всем остальным окружностям пучка.

ВверхВниз   Решение


Автор: Колосов В.

Пусть x, y, z – любые числа из интервала  (0, π/2).  Докажите неравенство  

ВверхВниз   Решение


Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C1 – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
  а) прямая C1F делит пополам периметр треугольника ABC;
  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение


Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).
  а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит его площадь пополам?
  б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем ⅓ площади всего многоугольника.

  в) Можно ли в пункте б) заменить число ⅓ на большее?
(Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).

ВверхВниз   Решение


Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что треугольники ABC, HBC, AHC и ABH имеют общую окружность девяти точек.
б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников  ABC, HBC, AHC и ABH пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников  ABC, HBC, AHC и ABH образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику HABC.

ВверхВниз   Решение


Существует ли такой многочлен  f(x) степени 6, что для любого x выполнено равенство  f(sinx) + f(cosx) = 1?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 63]      



Задача 64613

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Производная (прочее) ]
[ Средние величины ]
[ Теорема Виета ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Многочлен степени  $n > 1$  имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$
Прислать комментарий     Решение


Задача 64668

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Существует ли такой многочлен  f(x) степени 6, что для любого x выполнено равенство  f(sinx) + f(cosx) = 1?

Прислать комментарий     Решение

Задача 64783

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
[ Вычисление производной ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Тыщук К.

Исходно на доске написаны многочлены  x³ – 3x² + 5  и  x² – 4x.  Если на доске уже написаны многочлены  f(x) и g(x), разрешается дописать на неё многочлены  f(x) ± g(x),  f(x)g(x),  f(g(x))  и  cf(x),  где c – произвольная (не обязательно целая) константа. Может ли на доске после нескольких операций появиться многочлен вида  xn – 1  (при натуральном n)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66199

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Уравнения высших степеней (прочее) ]
[ Производная и экстремумы ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пусть  f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
Может ли оказаться, что уравнение  f(x) = a  при любом значении a имеет чётное число решений?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116624

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Производная (прочее) ]
[ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Существуют ли такие значения a и b, при которых уравнение   х4 – 4х3 + 6х² + aх + b = 0  имеет четыре различных действительных корня?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 63]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .