На каждой стороне квадрата взяли по одной точке. Оказалось, что эти точки являются вершинами прямоугольника, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Найдите периметр прямоугольника, если диагональ квадрата равна 6.

   Решение

Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.

   Решение

Через каждую вершину параллеллограмма проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину. Докажите, что диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями четырёх проведённых прямых, перпендикулярны сторонам параллелограмма.

   Решение

Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Биссектрисы углов A и B пересекают прямую CD в точках M и N, причём  MN = 12.
Найдите стороны параллелограмма.

   Решение

Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD, P – проекция вершины C на прямую AB, M – середина стороны AD.
Докажите, что  ∠DMP = 3∠APM.

   Решение

В треугольнике ABC проведена высота BM, биссектриса BN и медиана BL. Известно, что AM = MN = NL. Найдите тангенс угла A этого треугольника.

   Решение

Высоты AD и BE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Описанная окружность треугольника ABH, пересекает стороны AC и BC в точках F и G соответственно. Найдите FG, если  DE = 5 см.

   Решение

В точках A и B прямой, по одну сторону от неё, восстановлены два перпендикуляра  AA₁ = a  и   BB₁ = b.
Докажите, что точка пересечения прямых AB₁ и A₁B будет находиться на одном и том же расстоянии от прямой AB независимо от положения точек A и B.

   Решение

В прямоугольнике с целыми сторонами m и n, нарисованном на клетчатой бумаге, проведена диагональ.
  а) Через какое число узлов она проходит?
  б) На сколько частей эта диагональ делится линиями сетки?

   Решение

В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE.
Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.

   Решение

В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни A и B, чтобы путь AMNB из деревни A в деревню B был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).

   Решение

В треугольнике ABC биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке M. Известно, что AB = BC = 2AC, AM = 4. Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

В равнобедренной трапеции ABCD  AB = CD = 3,  основание  AD = 7,  ∠BAD = 60°.  На диагонали BD расположена точка M так, что  BM : MD = 3 : 5.
Какую из сторон трапеции: BC или CD пересекает продолжение отрезка AM?

   Решение

Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нем отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попарно непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше 0,5.

   Решение

Через вершину B правильного треугольника ABC проведена прямая l. Окружность ω_a с центром I_a касается стороны BC в точке A₁ и прямых l и AC. Окружность ω_c с центром I_c касается стороны BA в точке C₁ и прямых l и AC. Докажите, что ортоцентр треугольника A₁BC₁ лежит на прямой I_aI_c.

   Решение

Треугольник $ABC$ равносторонний. На сторонах $AB$ и $AC$ выбрали точки $E$ и $F$, а на продолжении стороны $AB$ – точку $K$ так, что $AE=CF=BK$. Точка $P$ – середина $EF$. Докажите, что угол $KPC$ прямой.

   Решение

Все грани треугольной пирамиды SABC – остроугольные треугольники. SX и SY – высоты граней ASВ и BSС. Известно, что четырёхугольник AXYC – вписанный. Докажите, что прямые AC и BS перпендикулярны.

   Решение

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 401]      

На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD с центром O отмечены такие точки P и Q соответственно, что  ∠AOP = ∠COQ = ∠ABC.
  а) Докажите, что  ∠ABP = ∠CBQ.
  б) Докажите, что прямые AQ и CP пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Все грани треугольной пирамиды SABC – остроугольные треугольники. SX и SY – высоты граней ASВ и BSС. Известно, что четырёхугольник AXYC – вписанный. Докажите, что прямые AC и BS перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Хорда CD окружности с центром O перпендикулярна ее диаметру AB, а хорда AE делит пополам радиус OC.
Докажите, что хорда DE делит пополам хорду BC.

Прислать комментарий

Решение

В окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, хорда $KL$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки $L$ и $M$ и пересекает отрезок $CK$ в точках $P$ и $Q$ ($Q$ лежит на отрезке $KP$). Пусть $LQ$ пересекает описанную окружность треугольника $KMQ$ в точке $R$. Докажите, что четырехугольник $APBR$ вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром O, M₁ и M₂ – середины сторон AB и CD соответственно; Ω – описанная окружность треугольника OM₁M₂,  X₁ и X₂ – точки пересечения ω с Ω, а Y₁ и Y₂ – вторые точки пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников CDM₁ и ABM₂ соответственно с Ω. Докажите, что  X₁X₂ || Y₁Y₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 401]