Каталог по темам

Задачи

Страница: << 196 197 198 199 200 201 202 >> [Всего задач: 1007]

Задача 66085

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]
	[	Отношение площадей подобных треугольников	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Евдокимов М.А.

Точка O – центр описанной окружности Ω остроугольного треугольника ABC. Описанная окружность ω треугольника AOC вторично пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Оказалось, что прямая EF делит площадь треугольника ABC пополам. Найдите угол B.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109647

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Композиции поворотов	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Терешин Д.А.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

Прислать комментарий Решение

Задача 65046

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Теорема о группировке масс	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Заславский А.А., Белухов Н.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда IM : AC = IN : BD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65379

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Яковлев И.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁ и отмечены точки A₂, B₂, C₂, в которых вневписанные окружности касаются сторон BC, CA, AB соответственно. Прямая B₁C₁ касается вписанной окружности треугольника. Докажите, что точка A₁ лежит на описанной окружности треугольника A₂B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66960

Темы:	[	Усеченная пирамида	]
	[	Сферы (прочее)	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Конус (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

В усеченную треугольную пирамиду вписана сфера, касающаяся оснований в точках $T_1$, $T_2$. Пусть $h$ – высота пирамиды, $R_1$, $R_2$ – радиусы окружностей, описанных около ее оснований, $O_1$, $O_2$ – центры этих окружностей. Докажите, что $$ R_1R_2h^2=(R_1^2-O_1T_1^2)(R_2^2-O_2T_2^2). $$

Прислать комментарий Решение

Страница: << 196 197 198 199 200 201 202 >> [Всего задач: 1007]