Подтемы:
- Квадратный трехчлен (263 задачи)
- Формулы сокращенного умножения (414 задач)
- Неравенства. Метод интервалов (5 задач)
- Теорема Безу. Разложение на множители (57 задач)
- Многочлен нечетной степени имеет действительный корень (10 задач)
- Многочлен n-й степени имеет не более n корней (30 задач)
- Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов (45 задач)
- Теорема Виета (49 задач)
- Неприводимые многочлены (1 задача)
- Симметрические многочлены (28 задач)
- Интерполяционные многочлены (16 задач)
- Целочисленные и целозначные многочлены (78 задач)
- Свойства коэффициентов многочлена (50 задач)
- Кубические многочлены (50 задач)
- Специальные многочлены (21 задача)
- Многочлены (прочее) (61 задача)
Фильтр
Выбрано 25 задач Убрать все задачи
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c.
Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.
Существует ли такой выпуклый пятиугольник, от которого некоторая прямая отрезает подобный ему пятиугольник?
На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что AB2 - AC2 = MB2 - MC2.
Все точки окружности окрашены произвольным образом в два цвета.
Докажите, что найдётся равнобедренный треугольник с вершинами одного цвета, вписанный в эту окружность.
Середины сторон выпуклого пятиугольника последовательно соединены отрезками. Найдите периметр полученного пятиугольника, если сумма всех диагоналей данного равна a.
Вокруг окружности описан пятиугольник, длины сторон которого – целые числа, а первая и третья стороны равны 1.
На какие отрезки делит вторую сторону точка касания?
Можно ли вместо звёздочек вставить в выражение НОК(*, *, *) – НОК(*, *, *) = 2009 в некотором порядке шесть последовательных натуральных чисел так, чтобы равенство стало верным?
Площадь треугольника ABC равна S,
BAC =
,
BCA =
. Найдите AB.
На доске записаны двузначные числа. Каждое число составное, но любые два числа взаимно просты.
Какое наибольшее количество чисел может быть записано?
а) Выпуклый пятиугольник разбили непересекающимися диагоналями на три треугольника. Могут ли точки пересечения медиан этих треугольников лежать на одной прямой?
б) Тот же вопрос для невыпуклого пятиугольника.
Внутри квадрата A1A2A3A4 лежит выпуклый четырёхугольник A5A6A7A8. Внутри A5A6A7A8 выбрана точка A9. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что можно выбрать из них 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугольника.
В параллелограмме ABCD точка E делит пополам сторону CD,
биссектриса угла ABC пересекает в точке O отрезок AE. Найдите
площадь четырёхугольника OBCE, зная, что AD = a, DE = b,
ABO =
.
Постройте треугольник ABC, зная положение центров A1, B1 и C1 его вневписанных окружностей.
С помощью циркуля и линейки постройте окружность с данным центром, касающуюся данной окружности.
В ромбе ABCD со стороной a угол при вершине А равен
60o,
точки E и F являются серединами сторон AB и CD соответственно.
Точка K лежит на стороне BC, отрезки AK и EF пересекаются в
точке M. Найдите MK, если известно, что площадь
четырёхугольника MKCF составляет
площади ромба ABCD.
Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден: а) под острым углом; б) под тупым углом.
В лес за грибами пошли 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали n² + 9n – 2 гриба, причём все они собрали поровну грибов.
Кого было больше: мальчиков или девочек?
Учитель записал Пете в тетрадь четыре различных натуральных числа. Для каждой пары этих чисел Петя нашёл их наибольший общий делитель. У него получились шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и N, где N > 5. Какое наименьшее значение может иметь число N?
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Точка
M лежит на прямой AB, причём
AMO =
MAD. Докажите, что точка
M равноудалена от точек C и D.
Треугольник и вписанный в него ромб имеют общий угол.
Cтороны треугольника, заключающие этот угол, относятся как
. Найдите отношение площади ромба к площади
треугольника.
В прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 вписали окружность. Через точки её касания с его катетами провели прямую.
Отрезок какой длины может высекать на этой прямой окружность, описанная около исходного треугольника?
В прямоугольном треугольнике ABC к гипотенузе AB проведена
высота CD. На отрезках CD и DA взяты точки E и F соответственно, причём
CE : CD = AF : AD. Докажите, что прямые BE и CF перпендикулярны.
Через каждую вершину параллеллограмма проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину. Докажите, что диагонали четырёхугольника, образованного пересечениями четырёх проведённых прямых, перпендикулярны сторонам параллелограмма.
Радиус окружности, вписанной в ромб, равен r, а острый угол
ромба равен . Найдите сторону ромба.
Про квадратный трехчлен f(x) = ax² – ax + 1 известно, что | f(x)| ≤ 1 при 0 ≤ x ≤ 1. Найдите наибольшее возможное значение а.
Задачи Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 965]
Задача 86520 |
|
|
Про квадратный трехчлен f(x) = ax² – ax + 1 известно, что | f(x)| ≤ 1 при 0 ≤ x ≤ 1. Найдите наибольшее возможное значение а.
|
|
Решение |
Задача 97900 |
|
|
При каком натуральном K величина достигает максимального значения?
|
|
Решение |
Задача 97964 |
|
|
a, b и c – целые числа. Докажите, что если a = b + c, то a4 + b4 + c4 есть удвоенный квадрат целого числа.
|
|
|
Решение |
Задача 98113 |
|
|
В лес за грибами пошли 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали n² + 9n – 2 гриба, причём все они собрали поровну грибов.
Кого было больше: мальчиков или девочек?
|
|
|
Решение |
Задача 98240 |
|
|
Пусть a, b, c, d – такие вещественные числа, что
a³ + b³ + c³ + d³ = a + b + c + d = 0.
Докажите, что сумма каких-то двух из этих чисел равна нулю.
|
|
|
Решение |
Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 965]
