Страница:
<< 380 381 382 383
384 385 386 >> [Всего задач: 2266]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность ω с центром в точке $O$. Описанная окружность Ω треугольника $AOC$ пересекает вторично прямые $AB, BC, CD$ и $DA$ в точках $M, N, K$ и $L$ соответственно. Докажите, что прямые $MN, KL$ и касательные, проведённые к ω в точках $A$ и $C$, касаются одной окружности.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Пусть $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $BC$ отметили точку $D$. Окружности, описанные около треугольников $BOD$ и $COD$, повторно пересекают отрезки $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что из отрезков $BX$, $XY$ и $YC$ можно сложить треугольник.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
|
Квадратная комната разгорожена перегородками на несколько меньших квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты – целое число.
Докажите, что сумма длин всех перегородок делится на 4.
Выпуклые четырёхугольники ABCD и PQRS вырезаны соответственно из бумаги и картона. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.
а) Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны,
либо диагонали перпендикулярны.
б) Докажите, что если ABCD – параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхугольник.
Дан некоторый угол и точка A внутри него. Можно ли провести через точку A три прямые (не проходящие через вершину угла) так, чтобы на каждой из сторон угла одна из точек пересечения этих прямых со стороной лежала посередине между двумя другими точками пересечения прямых с этой же стороной?
Страница:
<< 380 381 382 383
384 385 386 >> [Всего задач: 2266]
Фильтр
