Каталог по темам

Задачи

Страница: << 390 391 392 393 394 395 396 >> [Всего задач: 2266]

Задача 65019

Темы:	[	Хорды и секущие (прочее)	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Точка Лемуана	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Прокопенко Д.

На хорде AC окружности ω выбрали точку B. На отрезках AB и BC как на диаметрах построили окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂, которые пересекают ω второй раз в точках D и E соответственно. Лучи O₁D и O₂E пересекаются в точке F. Лучи AD и CE пересекаются в точке G.
Докажите, что прямая FG проходит через середину AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65362

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Удвоение медианы	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

В треугольнике ABC AB = BC, ∠B = 20°. Точка M на основании AC такова, что AM : MC = 1 : 2, точка H – проекция C на BM. Найдите угол AHB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65398

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Свойства сечений	]
	[	Центр масс	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Авторы: Берлов С.Л., Заславский А.А., Кожевников П.А.

У тетраэдра ABCD сумма площадей двух граней (с общим ребром AB) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром CD). Докажите, что середины рёбер BC, AD, AC и BD лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65875

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Тимохин М.

Дан правильный 2n-угольник A₁A₁...A_2n с центром O, причём n ≥ 5. Диагонали A₂A_n–1 и A₃A_n пересекаются в точке F, а A₁A₃ и A₂A_2n–2 – в точке P.
Докажите, что PF = PO.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66140

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Прокопенко Д., Тахаев С.

Вокруг треугольника ABC с острым углом C описана окружность. На дуге AB, не содержащей точку C, выбрана точка D. Точка D' симметрична точке D относительно прямой AB. Прямые AD' и BD' пересекают стороны BC и AC в точках E и F. Пусть точка C движется по своей дуге AB. Докажите, что центр описанной окружности треугольника CEF движется по прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 390 391 392 393 394 395 396 >> [Всего задач: 2266]