Страница:
<< 402 403 404 405
406 407 408 >> [Всего задач: 2266]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Дан треугольник
A0
B0
C0
. На отрезке
A0
B0
отмечены точки
A1
,
A2
, ,An , а на отрезке
B0
C0
– точки
C1
,
C2
, , Cn , причём
все отрезки
AiCi+1
(
i=0
,1
, n-1
), параллельны
между собой и все отрезки
CiAi+1
(
i=0
,1
, n-1
)
– тоже. Отрезки
C0
A1
,
A1
C2
,
A2
C1
и
C1
A0
ограничивают некоторый параллелограмм, отрезки
C1
A2
,
A2
C3
,
A3
C2
и
C2
A1
–
тоже и т.д. Докажите, что сумма площадей всех
n-1
получившихся
параллелограммов меньше половины площади треугольника
A0
B0
C0
.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S1 проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S2 в точках B и C, а через точку D окружности S2 – прямые DM и DN, пересекающие S1 в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если AB = DE, то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
Дан правильный 17-угольник A1... A17. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A1A4, A2A10, A13A14 и A2A3, A4A6, A14A15, равны.
Противоположные стороны выпуклого шестиугольника параллельны. Hазовём
высотой такого шестиугольника отрезок с концами на прямых, содержащих противолежащие стороны и перпендикулярный им. Докажите, что вокруг этого шестиугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда его высоты можно параллельно перенести так, чтобы они образовали треугольник.
В треугольнике ABC ALa и AMa – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ωa – окружность, симметричная описанной окружности Ωa треугольника ALaMa относительно середины BC. Окружность ωb определена аналогично. Докажите, что ωa и ωb касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.
Страница:
<< 402 403 404 405
406 407 408 >> [Всего задач: 2266]
Фильтр
