Страница:
<< 214 215 216 217
218 219 220 >> [Всего задач: 1409]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на
два четырехугольника, площади которых относятся как 2 : 3.
Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых
проходят через одну точку.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
У $N$ друзей есть круглая пицца. Разрешается провести не более 100 прямолинейных разрезов, не перекладывая части до окончания разрезаний, после чего распределить все получившиеся кусочки между всеми друзьями так, чтобы каждый получил суммарно одну и ту же долю пиццы по площади. Найдутся ли такие разрезания, если
а) $N$ = 201; б) $N$ = 400?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Пекарь испёк прямоугольный лаваш и разрезал его на $n^2$ прямоугольников, сделав $n–1$ горизонтальных разрезов и $n–1$ вертикальных. Оказалось, что округлённые до целого числа площади получившихся прямоугольников равны всем натуральным числам от $1$ до $n^2$ в некотором порядке. Для какого наибольшего $n$ это могло произойти? (Полуцелые числа округляются вверх.)
В круговом шахматном турнире каждый участник играет с каждым из остальных один раз. За выигрыш присуждается одно очко, за ничью – пол-очка, за проигрыш – ноль. Назовём партию неправильной, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше проигравшего.
а) Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.
б) Докажите, что в пункте а) число ¾ нельзя заменить на меньшее.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В круговом шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных один
раз. Назовём партию неправильной, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше чем проигравший. (Победа даёт 1 очко, ничья – ½, поражение – 0.) Могут ли неправильные партии составлять
а) более 75% от общего количества партий в турнире;
б) более 70%?
Страница:
<< 214 215 216 217
218 219 220 >> [Всего задач: 1409]
Фильтр
