Версия для печати
Убрать все задачи

---

Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.

   Решение

---

На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих неравенству  x²y – y ≥ 0.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведённым из одной вершины.

   Решение

---

Старый калькулятор I. а) Предположим, что мы хотим найти (x > 0) на калькуляторе, который кроме четырех обычных арифметических действий умеет находить . Рассмотрим следующий алгоритм. Строится последовательность чисел {y_n}, в которой y₀ — произвольное положительное число, например, y₀ = , а остальные элементы определяются соотношением

Докажите, что

б) Постройте аналогичный алгоритм для вычисления корня пятой степени.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки впишите в данный угол окружность, касающуюся данной окружности.

   Решение

---

На доске написано число 8ⁿ. У него вычисляется сумма цифр, у полученного числа вновь вычисляется сумма цифр, и так далее, до тех пор, пока не получится однозначное число. Что это за число, если  n = 2001?

   Решение

Страница: << 59 60 61 62 63 64 65 >> [Всего задач: 330]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 87024

Темы:   [ Свойства сечений ] [ Отношение объемов ] [ Объем параллелепипеда ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Средняя линия треугольника ] [ Объем тела равен сумме объемов его частей ] [ Параллелепипеды (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Точки M, N, K – середины рёбер соответственно AB, BC, DD₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.
  а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M, N, K.
  б) В каком отношении эта плоскость делит ребро CC₁ и диагональ DB₁?
  в) В каком отношении эта плоскость делит объём параллелепипеда?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102430

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Трапеции (прочее) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В трапеции ABCD с боковыми сторонами  AB = 8  и  CD = 5  биссектриса угла B пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно, а биссектриса угла D пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причём точка L лежит на основании BC.
  а) В каком отношении прямая MK делит сторону AB, а прямая LN – сторону AD?
  б) Найдите отношение  KL : MN,  если  LM : KN = 4 : 7.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66262

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Средняя линия треугольника ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

В треугольнике ABC  O – центр описанной окружности, I – центр вписанной. Прямая, проходящая через I и перпендикулярная OI, пересекает AB в точке X, а внешнюю биссектрису угла C – в точке Y. В каком отношении I делит отрезок XY?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66308

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки подобия ] [ Средняя линия треугольника ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

В остроугольном треугольнике ABC углы B и C больше 60°. Точки P, Q на сторонах AB, AC таковы, что A, P, Q и ортоцентр треугольника H лежат на одной окружности; K – середина отрезка PQ. Докажите, что  ∠BKC > 90°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108945

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вневписанные окружности ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Одна из вневписанных окружностей треугольника ABC касается стороны AB и продолжений сторон CA и CB в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Другая вневписанная окружность касается стороны AC и продолжений сторон BA и BC в точках B₂, C₂ и A₂ соответственно. Прямые A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точке P, прямые A₁C₁ и A₂C₂ – в точке Q. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 59 60 61 62 63 64 65 >> [Всего задач: 330]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями