Все авторы
>>
Берлов С.Л. 
Сергей Львович Берлов - преподаватель физико-математического лицея 239 города Санкт-Петербурга, кандидат физико-математических наук, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике, серебряный призер Международной математической олимпиады 1988 г.
Фильтр
Выбрана 21 задача Убрать все задачи
Даны вершины A и C равнобедренной описанной
трапеции ABCD (AD| BC); известны также направления ее
оснований. Постройте вершины B и D.
Из произвольной точки M, лежащей внутри данного
угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ
на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK
на отрезок PQ. Докажите, что
PAK =
MAQ.
Косинус угла между скрещивающимися прямыми AB и CD равен
. Точки E и F являются серединами
отрезков AB и CD соответственно, а прямая EF перпендикулярна
прямым AB и CD . Найдите угол ACB , если известно, что
AB = 2
, CD = 2
, EF =
.
Вершина A остроугольного треугольника ABC
соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A
проведена высота AH. Докажите, что
BAH =
OAC.
На окружности взяты точки A, B, C и D. Прямые AB
и CD пересекаются в точке M. Докажите, что
AC . AD/AM = BC . BD/BM.
Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 2 и является хордой некоторой окружности. Катет AC равен 1 и лежит внутри окружности, а его продолжение пересекает окружность в точке D, причём CD = 3. Найдите радиус окружности.
В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AD взяты соответственно точки K, L и M. Известно, что AK = 5, KB = 3, BL = 2, LC = 7, CM = 1, MA = 6, Найдите расстояние от точки M до середины KL.
За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).
Дан равносторонний треугольник со стороной $d$ и точка $P$, расстояния от которой до вершин треугольника равны положительным числам $a$, $b$ и $с$. Докажите, что найдётся равносторонний треугольник со стороной $a$ и точка $Q$, расстояния от которой до вершин этого треугольника равны $b$, $с$ и $d$.
Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из
дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший
диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат
один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные
части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать,
что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20
красных секторов.
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE
отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите
площадь пятиугольника ABCDE.
Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых a + b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел.
По двум скрещивающимся прямым скользят два отрезка. Доказать, что объём тетраэдра с вершинами в концах этих отрезков не зависит от положения последних.
Правильный 2n-угольник M1 со стороной a лежит
внутри правильного 2n-угольника M2 со стороной 2a.
Докажите, что многоугольник M1 содержит центр многоугольника M2.
Докажите, что сумма расстояний от центра правильного семиугольника до всех его вершин меньше, чем сумма расстояний до них от любой другой точки.
Дан четырёхугольник ABCD. Впишите в него параллелограмм с заданными направлениями сторон.
Докажите, что геометрическое место точек пересечения диагоналей
четырехугольников ABCD, у которых стороны AB и CD лежат на
двух данных прямых l1 и l2, а стороны
BC и AD пересекаются в данной точке P, является прямой,
проходящей через точку Q пересечения прямых l1 и l2.
Дан квадрат ABCD со стороной 4. Точка O выбрана в плоскости квадрата так, что OB = 10, OD = 6. Найдите угол между вектором
и вектором, направленным из точки O в наиболее удалённую от неё вершину квадрата.
В строку выписаны 40 знаков: 20 крестиков и 20 ноликов. За один ход можно поменять местами любые два соседних знака. За какое наименьшее количество ходов можно гарантированно добиться того, чтобы какие-то 20 стоящих подряд знаков оказались крестиками?
В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что
PC = 2PN. Докажите, что АР = ВС.
Все задачи автора Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 118]
Задача 65091 |
|
В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что
PC = 2PN. Докажите, что АР = ВС.
|
|
Решение |
Задача 65121 |
|
|
Пусть AL – биссектриса треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезкуAL пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC, в точках P и Q. Докажите, что описанная окружность треугольника PLQ, касается стороны BC.
|
|
Решение |
Задача 65243 |
|
Дан параллелограмм ABCD, в котором AB < AC < BC. Точки E и F выбраны на описанной окружности ω треугольника ABC так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку D; при этом отрезки AD и CE пересекаются. Оказалось, что ∠ABF = ∠DCE. Найдите угол ABC.
|
|
|
Решение |
Задача 108125 |
|
Окружности S1 и S2 с центрам O1 и O2 соответственно пересекаются в точках A и B. Касательные к S1 и S2 в точке A пересекают отрезки BO2 и BO1 в точках K и L соответственно. Докажите, что KL || O1O2.
|
|
|
Решение |
Задача 108141 |
|
На большей стороне AC треугольника ABC взята точка N так, что серединные перпендикуляры к отрезкам AN и NC пересекают стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Докажите, что центр O описанной окружности треугольника ABC лежит на описанной окружности треугольника KBM.
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 118]
