Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Годы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В прямой угол вписана окружность. Хорда, соединяющая точки касания, равна 2. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

Вниз   Решение


Пусть  P(x) = anxn + ... + a1x + a0  – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3n+1P(n + 1)|,  ...,  |31P(1)|,  |1 – P(0)|  не меньше 1.

ВверхВниз   Решение


На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.

ВверхВниз   Решение


Найдите самое маленькое k, при котором k! делится на 2040.

ВверхВниз   Решение


Пусть a, b и c – три различных числа. Решите систему    

ВверхВниз   Решение


Автор: Рубин А.

Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?

ВверхВниз   Решение


В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.

ВверхВниз   Решение


Целые числа a и b таковы, что  56a = 65b.  Докажите, что   a + b  – составное число.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что если  f(x) – многочлен, степень которого меньше n, то дробь     (x1, x2, ..., xn  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы n простейших дробей:  
где  A1, A2, ..., An  – некоторые константы.

ВверхВниз   Решение


Правда или ложь? Пошел Иван-царевич искать Василису Прекрасную. Дошел до распутья и задумался. Вдруг видит — Баба-Яга. А про эту Бабу-Ягу всем было известно, что, через день на все вопросы она отвечает правду, а через день — ложь. Ивану-царевичу можно задать Бабе-Яге ровно один вопрос, после чего надо выбрать, по какой из двух дорог идти. Какой вопрос Иван-царевич может задать Бабе-Яге, чтобы наверняка выяснить, какая из дорог ведет в Кощеево царство?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 133 134 135 136 137 138 139 >> [Всего задач: 1982]      



Задача 79554

Темы:   [ Признаки перпендикулярности ]
[ Раскраски ]
[ Параллельность прямых и плоскостей ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

В пространстве имеются четыре различные прямые, окрашенные в два цвета: две красные и две синие, причём любая красная прямая перпендикулярна любой синей прямой. Докажите, что либо красные, либо синие прямые параллельны.
Прислать комментарий     Решение


Задача 79555

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

В треугольнике ABC на сторонах AB, BC и AC взяты соответственно точки M, K и L так, что прямая MK параллельна прямой AC и ML параллельна BC. При этом отрезок BL пересекает отрезок MK в точке P, а AK пересекает ML в точке Q. Докажите, что отрезки PQ и AB параллельны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79576

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Найдите все простые числа р, q, r, удовлетворяющие равенству  pq + qp = r.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79606

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Четность и нечетность ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться нечётное число фигур?

Прислать комментарий     Решение

Задача 79614

Темы:   [ Задачи с ограничениями ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Обход графов ]
Сложность: 3+
Классы: 9

В квадратной таблице из 9×9 клеток отмечены 9 клеток, лежащие на пересечении второй, пятой и восьмой строк со вторым, пятым и восьмым столбцами. Сколькими путями можно из левой нижней клетки попасть в правую верхнюю, двигаясь только по неотмеченным клеткам вверх или вправо?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 133 134 135 136 137 138 139 >> [Всего задач: 1982]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .