Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике ABC c углом A, равным 45°, проведена медиана AM. Прямая b симметрична прямой AM относительно высоты BB₁, а прямая c симметрична прямой AM относительно высоты CC₁. Прямые b и c пересеклись в точке X. Докажите, что  AX = BC.

   Решение

---

Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд N одинаковых монет, сам выбирая, какие – орлом вверх, а какие – решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое целое число от 1 до N и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число.
  a) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способы, позволяющие фокуснику гарантированно отгадывать число для  N = a  и для  N = b,  то есть способ и для  N = ab.
  б) Найдите все значения N, для которых у фокусника с ассистентом есть такой способ.

   Решение

---

На плоскости лежал куб. Его перекатили несколько раз (через рёбра) так, что куб снова оказался на исходном месте той же гранью вверх.
Могла ли при этом верхняя грань повернуться на 90° относительно своего начального положения?

   Решение

Страница: << 269 270 271 272 273 274 275 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66856

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Теория графов (прочее) ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

У Пети есть колода из 36 карт (4 масти по 9 карт в каждой). Он выбирает из неё половину карт (какие хочет) и отдаёт Васе, а вторую половину оставляет себе. Далее каждым ходом игроки по очереди выкладывают на стол по одной карте (по своему выбору, в открытом виде); начинает Петя. Если в ответ на ход Пети Вася смог выложить карту той же масти или того же достоинства, Вася зарабатывает
1 очко. Какое наибольшее количество очков он может гарантированно заработать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66860

Темы:   [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Тетраэдр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Может ли в сечении какого-то тетраэдра двумя разными плоскостями получиться два квадрата: один – со стороной, не большей 1, а другой – со стороной, не меньшей 100?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66863

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Полуинварианты ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На доске написаны 2$n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся 2$n$ последовательных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66867

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан равносторонний треугольник со стороной $d$ и точка $P$, расстояния от которой до вершин треугольника равны положительным числам $a$, $b$ и $с$. Докажите, что найдётся равносторонний треугольник со стороной $a$ и точка $Q$, расстояния от которой до вершин этого треугольника равны $b$, $с$ и $d$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66868

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В куче $n$ камней, играют двое. За ход можно взять из кучи количество камней, либо равное простому делителю текущего числа камней в куче, либо равное 1. Выигрывает взявший последний камень. При каких $n$ начинающий может играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 269 270 271 272 273 274 275 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями