Страница: << 112 113 114 115 116 117 118 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78251

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Индукция (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Дана последовательность чисел F₁, F₂, ...;  F₁ = F₂ = 1  и   F_n+2 = F_n + F_n+1.  Доказать, что F_5k делится на 5 при  k = 1, 2, ... .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78260

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Доказать, что не существует целых чисел a, b, c, d, удовлетворяющих равенствам:
  abcd – a = 1961,
  abcd – b = 961,
  abcd – c = 61,
  abcd – d = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78261

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Ломаные ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Дана фигура, состоящая из 16 отрезков (см. рис.).

Доказать, что нельзя провести ломаную, пересекающую каждый из отрезков ровно один раз. Ломаная может быть незамкнутой и самопересекающейся, но её вершины не должны лежать на отрезках, а стороны – проходить через вершины фигуры.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78267

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

a, b, p – любые целые числа. Доказать, что найдутся такие взаимно простые k, l, что  ak + bl  делится на p.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78274

Тема:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное положение.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 112 113 114 115 116 117 118 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями