Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону треугольники $AB'C$, $CA'B$, $BC'A$ так, что получился шестиугольник $AB'CA'BC'$, в котором каждый из углов $A'BC'$, $C'AB'$, $B'CA'$ больше $120^\circ$, а для сторон выполняются равенства $AB'=AC'$, $BC'=BA'$, $CA'=CB'$. Докажите, что из отрезков $AB'$, $BC'$, $CA'$ можно составить треугольник.

   Решение

---

Дима придумал секретный шифр: каждая буква заменяется на слово длиной не больше 10 букв. Шифр называется хорошим, если всякое зашифрованное слово расшифровывается однозначно. Серёжа убедился (с помощью компьютера), что если зашифровать слово длиной не больше 10000 букв, то результат расшифровывается однозначно. Следует ли из этого, что шифр хороший? (В алфавите 33 буквы, под "словом" мы понимаем любую последовательность букв, независимо от того, имеет ли она смысл.)

   Решение

Страница: << 217 218 219 220 221 222 223 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98069

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Преобразования плоскости (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Числовая последовательность {x_n} такова, что для каждого  n > 1  выполняется условие:  x_n+1 = |x_n| – x_n–1.
Докажите, что последовательность периодическая с периодом 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98073

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Наибольшая или наименьшая длина ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На стене висят двое правильно идущих совершенно одинаковых часов. Одни показывают московское время, другие – местное. Минимальное расстояние между концами их часовых стрелок равно m, а максимальное – M. Найдите расстояние между центрами этих часов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98089

Темы:   [ Степень вершины ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В королевстве восемь городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в любой другой, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более k дорог. При каких k это возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98093

Темы:   [ Инварианты ] [ Обыкновенные дроби ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На доске выписаны числа 1, ½, ⅓, ..., ¹/₁₀₀. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа a и b, стираем их и пишем на доску число
a + b + ab.  Такую операцию проделываем 99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от последовательности выбора чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98110

Темы:   [ Многоугольники (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дан выпуклый восьмиугольник ABCDEFGH, у которого все внутренние углы равны между собой, а стороны равны через одну – AB = CD = EF = GH,
BC = DE = FG = HA  (будем называть такой восьмиугольник полуправильным). Проводим диагонали AD, BE, CF, DG, EH, FA, GB и HC. Среди частей, на которые эти диагонали разбивают внутреннюю область восьмиугольника, рассмотрим ту, которая содержит его центр. Если эта часть – восьмиугольник, он снова является полуправильным (это очевидно); в этом случае в нём проводим аналогичные диагонали, и т. д. Если на каком-то шагу центральная фигура не является восьмиугольником, процесс заканчивается. Докажите, что если этот процесс бесконечный, то исходный восьмиугольник – правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 217 218 219 220 221 222 223 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями