ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Годы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 1957]      



Задача 67013

Тема:   [ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

Найдите наибольшее натуральное $n$, обладающее следующим свойством: для любого простого нечетного $p$, меньшего $n$, разность  $n - p$  также является простым числом.

Прислать комментарий     Решение

Задача 67014

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Кноп К.А.

На стороне правильного восьмиугольника во внешнюю сторону построен квадрат. В восьмиугольнике проведены две диагонали, пересекающиеся в точке $B$ (см. рисунок). Найдите величину угла $ABC$. (Многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 67018

Тема:   [ Десятичная система счисления ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

У каждого из девяти натуральных чисел $n, 2n, 3n,\ldots,9n$ выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном $n$ среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67019

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Прямоугольники $ABCD$ и $DEFG$ расположены так, что точка $D$ лежит на отрезке $BF$, а точки $B$, $C$, $E$, $F$ лежат на одной окружности (см. рисунок). Докажите, что $\angle ACE = \angle CEG$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 67033

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Некоторые неотрицательные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют равенству $a+b+c=2\sqrt{abc}$. Докажите, что $bc\geqslant b+c$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 1957]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .