Версия для печати
Убрать все задачи

---

Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.

   Решение

---

Можно ли в таблицу 4×4 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
  3) среди чисел нет равных;
  4) все числа не больше 100?

   Решение

---

Из центра O правильного n-угольника A₁A₂...A_n проведены n векторов в его вершины. Даны такие числа  a₁, a₂, ..., a_n,  что
a₁ > a₂ > ... > a_n > 0.  Докажите, что линейная комбинация векторов     отлична от нулевого вектора.

   Решение

Страница: << 315 316 317 318 319 320 321 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108061

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Пусть P – точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника ABC относительно середины стороны BC, M – вторая точка пересечения прямой DP с описанной окружностью. Докажите, что расстояние от точки M до одной из вершин A, B, C равно сумме расстояний от M до двух других вершин.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108077

Темы:   [ Углы между биссектрисами ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Частные случаи треугольников (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Точка P лежит внутри равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC ),  причём  ∠ABC = 80°,  ∠PAC = 40°,  ∠ACP = 30°.  Найдите угол BPC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108087

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса угла ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. Пусть RS – средняя линия треугольника, параллельная AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что T лежит на биссектрисе угла B треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108103

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC. В нём H – точка пересечения высот, I – центр вписанной окружности, O – центр описанной окружности, K – точка касания вписанной окружности со стороной BC. Известно, что отрезки  IO || BC.  Докажите, что отрезки  AO || HK.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108112

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательные проекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Из центра O правильного n-угольника A₁A₂...A_n проведены n векторов в его вершины. Даны такие числа  a₁, a₂, ..., a_n,  что
a₁ > a₂ > ... > a_n > 0.  Докажите, что линейная комбинация векторов     отлична от нулевого вектора.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 315 316 317 318 319 320 321 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями