Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Вниз   Решение


В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и средняя линия A1C1. Прямые AD и A1C1 пересекаются в точке K. Докажите, что  2A1K = |b – c|.

ВверхВниз   Решение


Один из углов треугольника равен 120°. Докажите, что треугольник, образованный основаниями биссектрис данного, прямоугольный.

ВверхВниз   Решение


К натуральному числу A приписали справа три цифры. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до A . Найдите A .

ВверхВниз   Решение


Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение


Диагонали четырёхугольника делят его углы пополам. Докажите, что в такой четырёхугольник можно вписать окружность.

ВверхВниз   Решение


В колоде n карт. Часть из них лежит рубашками вверх, остальные – рубашками вниз. За один ход разрешается взять несколько карт сверху, перевернуть полученную стопку и снова положить ее сверху колоды. За какое наименьшее число ходов при любом начальном расположении карт можно добиться того, чтобы все карты лежали рубашками вниз?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что точка  m = 1/3 (a1 + a2 + a3)  является точкой пересечения медиан треугольника a1a2a3.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство  a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что числа от 1 до 15 нельзя разбить на две группы: A из двух чисел и B из 13 чисел так, чтобы сумма чисел в группе B была равна произведению чисел в группе A.

ВверхВниз   Решение


Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.

ВверхВниз   Решение


Две медианы треугольника равны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

ВверхВниз   Решение


Директор завода, рассматривая список телефонных номеров и фамилий своих сотрудников, заметил определённую взаимосвязь между фамилиями и номерами телефонов. Вот некоторые фамилии и номера телефонов из списка:
Ачинский8111
Бутенко7216
Галич5425
Лапина6131
Мартьянов9143
Ромидзе7186
Какой номер телефона у сотрудника по фамилии Огнев?

ВверхВниз   Решение


Автор: Калинин А.

Докажите, что уравнение  x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1)  не имеет решений в целых числах.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 109543  (#93.4.9.1)

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство  a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1).

Прислать комментарий     Решение

Задача 109544  (#93.4.9.2)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Признаки делимости на 11 ]
[ Метод спуска ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108229  (#93.4.9.3)

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Доказательство от противного ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причём  AO = CO.  Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если   а)  AM = CN;   б)  BM = BN?

Прислать комментарий     Решение

Задача 109546  (#93.4.9.4)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

В колоде n карт. Часть из них лежит рубашками вверх, остальные – рубашками вниз. За один ход разрешается взять несколько карт сверху, перевернуть полученную стопку и снова положить ее сверху колоды. За какое наименьшее число ходов при любом начальном расположении карт можно добиться того, чтобы все карты лежали рубашками вниз?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109547  (#93.4.9.5)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Деление с остатком ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Калинин А.

Докажите, что уравнение  x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1)  не имеет решений в целых числах.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .