а) В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Прямые AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁ пересекаются в точках C', A' и B'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают продолжения противоположных сторон в точках A', B' и C'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

   Решение

Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).

   Решение

Даны окружность S и прямая l, не имеющие общих точек. Из точки P, движущейся по прямой l, проводятся касательные PA и PB к окружности S. Докажите, что все хорды AB имеют общую точку.

   Решение

Некоторое количество точек расположено на плоскости так, что каждые 3 из них можно заключить в круг радиуса r = 1. Доказать, что тогда и все точки можно заключить в круг радиуса 1.

   Решение

На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A₁ и B₁; l — прямая, проходящая через общие точки окружностей с диаметрами AA₁ и BB₁. Докажите, что:
а) прямая l проходит через точку H пересечения высот треугольника ABC;
б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C, когда  AB₁ : AC = BA₁ : BC.

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 86]      

Постройте радикальную ось двух непересекающихся окружностей S₁ и S₂.

Прислать комментарий

Решение

Даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом, является их радикальная ось, из которой (если данные окружности пересекаются) выброшена их общая хорда.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что середины четырех общих касательных к двум непересекающимся кругам лежат на одной прямой.
б) Через две из точек касания общих внешних касательных с двумя окружностями проведена прямая. Докажите, что окружности высекают на этой прямой равные хорды.

Прислать комментарий

Решение

На окружности S с диаметром AB взята точка C, из точки C опущен перпендикуляр CH на прямую AB. Докажите, что общая хорда окружности S и окружности S₁ с центром C и радиусом CH делит отрезок CH пополам.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A₁ и B₁; l — прямая, проходящая через общие точки окружностей с диаметрами AA₁ и BB₁. Докажите, что:
а) прямая l проходит через точку H пересечения высот треугольника ABC;
б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C, когда  AB₁ : AC = BA₁ : BC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 86]