Версия для печати
Убрать все задачи

---

На доске написаны три натуральных числа. Петя записывает на бумажке произведение каких-нибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор пока одно из чисел на доске не станет нулём. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на Петиной бумажке?

   Решение

---

Для каждого натурального числа n обозначим через O(n) его наибольший нечётный делитель. Даны произвольные натуральные числа
х₁ = а  и  х₂ = b.  Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу:  x_n = O(х_n–1 + х_n–2),  где  n = 3, 4, ... .
  а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу.
  б) Как найти это число, зная числа a и b?

   Решение

Страница: << 180 181 182 183 184 185 186 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64451

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Петя нарисовал на плоскости квадрат, разделил на 64 одинаковых квадратика и раскрасил их в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. После этого он загадал точку, находящуюся строго внутри одного из этих квадратиков. Вася может начертить на плоскости любую замкнутую ломаную без самопересечений и получить ответ на вопрос, находится ли загаданная точка строго внутри ломаной или нет. За какое наименьшее количество таких вопросов Вася может узнать, какого цвета загаданная точка – белого или чёрного?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64513

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В ромбе ABCD  ∠А = 120°.  На сторонах BC и CD взяты точки M и N так, что  ∠NAM = 30°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника NAM лежит на диагонали ромба.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64516

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Для каждого натурального числа n обозначим через O(n) его наибольший нечётный делитель. Даны произвольные натуральные числа
х₁ = а  и  х₂ = b.  Построим бесконечную последовательность натуральных чисел по правилу:  x_n = O(х_n–1 + х_n–2),  где  n = 3, 4, ... .
  а) Докажите, что, начиная с некоторого места, все числа в последовательности будут равны одному и тому же числу.
  б) Как найти это число, зная числа a и b?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64518

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ] [ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ] [ Центр масс ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку X. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему X с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64520

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Произвольные многоугольники ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

а) Докажите, что найдётся многоугольник, который можно разделить отрезком на две равные части так, что этот отрезок разделит одну из сторон многоугольника пополам, а другую – в отношении  1 : 2.

б) Найдётся ли выпуклый многоугольник с таким свойством?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 180 181 182 183 184 185 186 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями