Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан многочлен двадцатой степени с целыми коэффициентами. На плоскости отметили все точки с целыми координатами, у которых ординаты не меньше 0 и не больше 10. Какое наибольшее число отмеченных точек может лежать на графике этого многочлена?

   Решение

Страница: << 183 184 185 186 187 188 189 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64612

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

На числовой прямой в точке P сидит точечный кузнечик. Точки 0 и 1 – ловушки. На каждом ходу мы называем любое положительное число, после чего кузнечик прыгает влево или вправо (по своему выбору) на расстояние, равное этому числу. Для каких P можно называть числа так, чтобы гарантированно загнать кузнечика в одну из ловушек? (Мы всё время видим, где сидит кузнечик.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64613

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Производная (прочее) ] [ Средние величины ] [ Теорема Виета ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Многочлен степени  $n > 1$  имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64653

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На квадратном столе лежит квадратная скатерть так, что ни один угол стола не закрыт, но с каждой стороны стола свисает треугольный кусок скатерти. Известно, что какие-то два соседних куска равны. Докажите, что и два других куска тоже равны. (Скатерть нигде не накладывается сама на себя, её размеры могут отличаться от размеров стола.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64656

Темы:   [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Проектирование помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Из кубиков 1×1×1 склеен куб 3×3×3. Какое наибольшее количество кубиков можно из него выкинуть, чтобы осталась фигура с такими двумя свойствами:
  - со стороны каждой грани исходного куба фигура выглядит как квадрат 3×3 (глядя перпендикулярно этой грани, мы не увидим просвета – видны 9 кубиков фигуры);
  - переходя в фигуре от кубика к кубику через их общую грань, можно от каждого кубика добраться до любого другого?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64661

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Дан многочлен двадцатой степени с целыми коэффициентами. На плоскости отметили все точки с целыми координатами, у которых ординаты не меньше 0 и не больше 10. Какое наибольшее число отмеченных точек может лежать на графике этого многочлена?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 183 184 185 186 187 188 189 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями