Определите, на какую наибольшую натуральную степень числа 2007 делится 2007!

   Решение

Хорды AC и BD окружности с центром O пересекаются в точке K. Пусть M и N – центры описанных окружностей треугольников AKB и CKD соответственно. Докажите, что  OM = KN.

   Решение

Около треугольника ABC описана окружность с центром O. Вторая окружность, проходящая через точки A, B, O, касается прямой AC в точке A.
Докажите, что  AB = AC.

   Решение

Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон AB , BC и AC соответственно в точках K , M и N . Известно, что AC=1 , а углы MKN и ABC равны соответственно 45^o и 30^o . Найдите радиус окружности.

   Решение

Вписанная в треугольник ABC окружность радиуса 1 касается его сторон AB , BC и AC соответственно в точках K , M и N . Известно, что MKN = ABC = 45^o . Найдите стороны треугольника ABC .

   Решение

Можно ли расставить по кругу 1995 различных натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел отношение большего из них к меньшему было простым числом?

   Решение

В прямоугольнике АВСD точка Р – середина стороны АВ, а точка Q – основание перпендикуляра, опушенного из вершины С на PD.
Докажите, что  BQ = BC.

   Решение

Вычислите суммы:
  а)  

  б)  

   Решение

На доске записано число 61. Каждую минуту число стирают с доски и записывают на это место произведение его цифр, увеличенное на 13. После первой минуты на доске записано 19  (6·1 + 13 = 19).  Какое число можно будет прочитать на доске через час?

   Решение

Дан треугольник ABC . На его сторонах AB и BC построены внешним образом квадраты ABMN и BCPQ . Докажите, что центры этих квадратов и середины отрезков MQ и AC образуют квадрат.

   Решение

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, BAC = 45^o. Прямая MN пересекает сторону AC в точке M, а сторону BC — в точке N, AM = 2 ^. MC, NMC = 60^o. Найдите отношение площади треугольника MNC к площади четырёхугольника ABNM.

   Решение

На складах двух магазинов хранится пшено: на первом складе на 16 тонн больше, чем на втором. Каждую ночь ровно в полночь владелец каждого магазина ворует у своего конкурента четверть имеющегося на его складе пшена и перетаскивает на свой склад. Через 10 ночей воришек поймали. На каком складе в момент их поимки было больше пшена и на сколько?

   Решение

Даны две точки и окружность. С помощью циркуля и линейки проведите через данные точки две секущие, хорды которых внутри данной окружности были бы равны и пересекались бы под данным углом α .

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник, вершины которого лежат соответственно на трёх данных концентрических окружностях.

   Решение

На шахматной доске 8×8 расставлено наибольшее возможное число слонов так, что никакие два слона не угрожают друг другу.
Доказать, что число всех таких расстановок есть точный квадрат.

   Решение

На стороне BE правильного треугольника ABE вне его построен ромб BCDE. Отрезки AC и BD пересекаются в точке F. Докажите, что  AF < BD.

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

В трапеции ABCD биссектрисы углов A и D пересекаются в точке E, лежащей на боковой стороне BC. Эти биссектрисы разбивают трапецию на три треугольника, в которые вписали окружности. Одна из этих окружностей касается основания AB в точке K, а две другие касаются биссектрисы DE в точках M и N. Докажите, что  BK = MN.

Прислать комментарий

Решение

На стороне BE правильного треугольника ABE вне его построен ромб BCDE. Отрезки AC и BD пересекаются в точке F. Докажите, что  AF < BD.

Прислать комментарий

Решение

O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Прямая, проходящая через C и точку, симметричную B относительно O, пересекает основание AD в точке K. Докажите, что  S_AOK = S_AOB + S_DOK.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC  M – середина стороны BC, P – точка пересечения касательных в точках B и C к описанной окружности, N – середина отрезка MP. Отрезок AN пересекает описанную окружность в точке Q. Докажите, что ∠PMQ = ∠MAQ.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведена высота AH. На сторонах AC и AB отмечены точки B₁ и C₁ соответственно, так, что HA – биссектриса угла B₁HC₁ и четырёхугольник BC₁B₁C – вписанный. Докажите, что B₁ и C₁ – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]