Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1941 год
>>
7,8 класс, 2 тур
Фильтр
Выбрана 21 задача Убрать все задачи
Впишите в данный остроугольный треугольник ABC
квадрат KLMN так, чтобы вершины K и N лежали на сторонах AB
и AC, а вершины L и M — на стороне BC.
а) Для данного треугольника ABC, все углы которого меньше
120o,
найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше
120o,
взята точка O, из которой его стороны видны под углом
120o.
Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна
(a2 + b2 + c2)/2 + 2S.
Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по точке и провести из этой точки направленный перпендикулярно соответствующей грани во внешнюю сторону вектор, длина которого равна площади этой грани, то сумма всех таких векторов окажется равна нулю. Докажите это.
У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение.
На дуге BC окружности, описанной около равностороннего
треугольника ABC, взята произвольная точка P.
Отрезки AP и BC пересекаются в точке Q. Докажите,
что
1/PQ = 1/PB + 1/PC.
В ребусе $\text{ТУР}+\text{ТУР}+\text{ТУР}+...+\text{ТУР}=\text{ТУРЛОМ}$ одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, разные буквы заменяют разные цифры. Часть одинаковых слагаемых мы заменили многоточием. Сколько всего может быть ТУРов, чтобы ребус имел решение? Найдите наименьшее и наибольшее количества.
Прямые AP, BP и CP пересекают описанную
окружность треугольника ABC в точках A2, B2 и C2; A1B1C1 — подерный треугольник точки P относительно
треугольника ABC (см. задачу 5.99). Докажите, что
A1B1C1
A2B2C2.
На сторонах треугольника ABC внешним образом
построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC.
Пусть P и Q — середины отрезков A1B1 и A1C1. Докажите,
что треугольник APQ правильный.
В треугольник
Ta = A1A2A3 вписан
треугольник
Tb =
B1B2B3, а в треугольник Tb вписан
треугольник
Tc =
C1C2C3, причем стороны
треугольников Ta и Tc параллельны. Выразите площадь
треугольника Tb через площади треугольников Ta и Tc.
На окружности взяты точки A, B, C и D. Прямые AB
и CD пересекаются в точке M. Докажите, что
AC . AD/AM = BC . BD/BM.
При каких значениях параметра a многочлен P(x) = xn + axn–2 (n ≥ 2) делится на x – 2 ?
Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?
Известно, что в выпуклом n-угольнике (n > 3) никакие три диагонали не проходят через одну точку.
Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.
Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так,
что
=
. Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.
На сторонах AB и AC треугольника ABC внешним
образом построены правильные треугольники ABC' и AB'C.
Точка M делит сторону BC в отношении BM : MC = 3 : 1;
K и L — середины сторон AC' и B'C. Докажите, что углы
треугольника KLM равны
30o,
60o и
90o.
Правильный треугольник сложен из одинаковых прямоугольных (красных) и одинаковых равнобедренных (зелёных) треугольников так, как показано на рисунке. Чему равна площадь правильного треугольника, если площадь зелёного треугольника равна 1? При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
Известно, что где x > 0, y > 0, z > 0. Докажите, что
Известно, что а, b и c – различные составные натуральные числа, но каждое из них не делится ни на одно из целых чисел от 2 до 100 включительно. Докажите, что если эти числа – наименьшие из возможных, то их произведение abc является кубом натурального числа.
Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?
Дан треугольник ABC. Требуется разрезать его на наименьшее число частей так, чтобы, перевернув эти части на другую сторону, из них можно было сложить тот же треугольник ABC.
Найти целое число a, при котором (x – a)(x – 10) + 1 разлагается в произведение (x + b)(x + c) двух множителей с целыми b и c.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 76489 (#1) |
|
|
Доказать, что из 5 попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.
|
|
Решение |
Задача 76490 (#2) |
|
|
Дан треугольник ABC. Требуется разрезать его на наименьшее число частей так, чтобы, перевернув эти части на другую сторону, из них можно было сложить тот же треугольник ABC.
|
|
Решение |
Задача 57812 (#3) |
|
|
Дан треугольник ABC. Точка M, расположенная
внутри треугольника, движется параллельно стороне BC до
пересечения со стороной CA, затем параллельно AB до
пересечения с BC, затем параллельно AC до пересечения
с AB и т. д. Докажите, что через некоторое число шагов
траектория движения точки замкнется.
|
|
|
Решение |
Задача 76492 (#4) |
|
|
Найти целое число a, при котором (x – a)(x – 10) + 1 разлагается в произведение (x + b)(x + c) двух множителей с целыми b и c.
|
|
|
Решение |
Задача 76493 (#5) |
|
|
Доказать, что квадрат любого простого числа p > 3 при делении на 12 даёт в остатке 1.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
