Версия для печати
Убрать все задачи

---

Можно ли расставить на футбольном поле четырёх футболистов так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись 1, 2, 3, 4, 5 и 6 метров?

   Решение

---

Дана последовательность чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. В этой последовательности выбрано восемь чисел подряд. Докажите, что их сумма не равна никакому числу рассматриваемой последовательности.

   Решение

---

Назовём натуральное число n удобным, если  n² + 1  делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ..., 1000000 чётное число удобных.

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности составляет ²/₇ высоты, а периметр этого треугольника равен 56. Найдите его стороны.

   Решение

---

Докажите, что ни одно из чисел вида 10³ⁿ⁺¹ нельзя представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел.

   Решение

---

Доказать, что в последовательности 11, 111, 1111, 11111, ... нет точных квадратов.

   Решение

---

В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных звена попарно перпендикулярны. Доказать, что число звеньев делится на 6.

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты CC₁ и AA₁. Известно, что  AC = 1  и  ∠C₁CA₁ = α.
Найдите площадь круга, описанного около треугольника C₁BA₁.

   Решение

---

В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы.

   Решение

---

Окружность, центр которой лежит на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, касается двух катетов AC и BC соответственно в точках E и D.
Найдите угол ABC, если известно, что  AE = 1,  BD = 3.

   Решение

---

Сумма 123 чисел равна 3813. Доказать, что из этих чисел можно выбрать 100 с суммой не меньше 3100.

   Решение

---

При каких целых n число  20ⁿ + 16ⁿ – 3ⁿ – 1  делится на 323?

   Решение

Страница: << 107 108 109 110 111 112 113 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78106

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

При каких целых n число  20ⁿ + 16ⁿ – 3ⁿ – 1  делится на 323?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78107

Темы:   [ Перпендикулярные прямые в пространстве ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Подсчет двумя способами ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Пространственные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных звена попарно перпендикулярны. Доказать, что число звеньев делится на 6.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78113

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78114

Темы:   [ Числа Фибоначчи ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Дана последовательность чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. В этой последовательности выбрано восемь чисел подряд. Докажите, что их сумма не равна никакому числу рассматриваемой последовательности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78123

Тема:   [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Разбить число 1957 на 12 целых положительных слагаемых a₁, a₂, ..., a₁₂ так, чтобы произведение a₁!a₂!...a₁₂! было минимально.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 107 108 109 110 111 112 113 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями