Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Годы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Можно ли расставить на футбольном поле четырёх футболистов так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись 1, 2, 3, 4, 5 и 6 метров?

Вниз   Решение


Дана последовательность чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. В этой последовательности выбрано восемь чисел подряд. Докажите, что их сумма не равна никакому числу рассматриваемой последовательности.

ВверхВниз   Решение


Назовём натуральное число n удобным, если  n² + 1  делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ..., 1000000 чётное число удобных.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что ни одно из чисел вида 103n+1 нельзя представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел.

ВверхВниз   Решение


В равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности составляет 2/7 высоты, а периметр этого треугольника равен 56. Найдите его стороны.

ВверхВниз   Решение


Доказать, что в последовательности 11, 111, 1111, 11111, ... нет точных квадратов.

ВверхВниз   Решение


В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных звена попарно перпендикулярны. Доказать, что число звеньев делится на 6.

ВверхВниз   Решение


В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты CC1 и AA1. Известно, что  AC = 1  и  ∠C1CA1 = α.
Найдите площадь круга, описанного около треугольника C1BA1.

ВверхВниз   Решение


В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы.

ВверхВниз   Решение


Окружность, центр которой лежит на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, касается двух катетов AC и BC соответственно в точках E и D.
Найдите угол ABC, если известно, что  AE = 1,  BD = 3.

ВверхВниз   Решение


Сумма 123 чисел равна 3813. Доказать, что из этих чисел можно выбрать 100 с суммой не меньше 3100.

ВверхВниз   Решение


При каких целых n число  20n + 16n – 3n – 1  делится на 323?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 107 108 109 110 111 112 113 >> [Всего задач: 1982]      



Задача 78056

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Доказать, что если  p/q – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома  f(x) с целыми коэффициентами, то  p – kq  есть делитель числа  f(k) при любом целом k.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78063

Темы:   [ Обыкновенные дроби ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Найти все числа, на которые может быть сократима при целом значении l дробь  .

Прислать комментарий     Решение

Задача 78075

Тема:   [ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 3+
Классы: 11

Докажите, что система уравнений

    x1x2 = a,
    x3x4 = b,
    x1 + x2 + x3 + x4 = 1

имеет хотя бы одно положительное решение тогда и только тогда, когда  |a| + |b| < 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78079

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

64 неотрицательных числа, сумма которых равна 1956, расположены в форме квадратной таблицы: по восемь чисел в каждой строке и в каждом столбце. Сумма чисел, стоящих на одной из диагоналей, равна 112. Числа, расположенные симметрично относительно этой диагонали, равны. Докажите, что сумма чисел в каждом столбце меньше 1035.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78081

Темы:   [ Текстовые задачи (прочее) ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Груз весом 13,5 т упакован в ящики так, что вес каждого ящика не превосходит 350 кг. Докажите, что этот груз можно перевезти на 11 полуторатонках. (Весом пустого ящика можно пренебречь.)

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 107 108 109 110 111 112 113 >> [Всего задач: 1982]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .