Катеты AC и CB прямоугольного треугольника ABC равны 15 и 8 соответственно. Из центра C радиусом CB описана дуга, отсекающая от гипотенузы часть BD. Найдите BD.

   Решение

В клетках шахматной доски размером n×n расставлены числа: на пересечении k-й строки и m-го столбца стоит число a_km. При любой расстановке на этой доске n ладей, при которой никакие две из них не бьют друг друга, сумма закрытых чисел равна 1972. Доказать, что существует два таких набора чисел x₁, x₂, ..., x_n и y₁, ..., y_n, что при всех k и m выполняется равенство  a_km = x_k + y_m.

   Решение

Две окружности касаются внешним образом. Найдите длину их общей внешней касательной (между точками касания), если радиусы равны 16 и 25.

   Решение

На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники ABC₁, BCA₁ и CAB₁. Доказать, что + + = .

   Решение

В прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 26, вписана окружность радиуса 4. Найдите периметр треугольника.

   Решение

На поверхности кубика мелом отмечено 100 различных точек. Докажите, что можно двумя различными способами поставить кубик на чёрный стол (причём в точности на одно и то же место) так, чтобы отпечатки от мела на столе при этих способах были разными. (Если точка отмечена на ребре или в вершине, она тоже даёт отпечаток.)

   Решение

Докажите, что:
  a) против большей стороны треугольника лежит больший угол;
  б) против большего угла треугольника лежит большая сторона.

   Решение

Доказать, что максимальное количество сторон выпуклого многоугольника, стороны которого лежат на диагоналях данного выпуклого 100-угольника, не больше 100.

   Решение

Страница: << 175 176 177 178 179 180 181 >> [Всего задач: 1982]      

Про последовательность x₁, x₂, ..., x_n, ... известно, что для любого n > 1 выполнено равенство 3x_n - x_{n - 1} = n. Кроме того, известно, что | x₁| < 1971. Вычислить x₁₉₇₁ с точностью до 0, 000001.

Прислать комментарий

Решение

Имеется сетка, состоящая из квадратов размером 1×1. Каждый её узел покрашен в один из четырёх данных цветов так, что вершины любого квадрата 1×1 покрашены в разные цвета. Доказать, что найдётся прямая, принадлежащая сетке, такая, что узлы, лежащие на ней, покрашены в два цвета.

Прислать комментарий

Решение

Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30^o. Доказать, что треугольник ABC правильный.

Прислать комментарий

Решение

Пусть на плоскости есть пять точек общего положения, то есть никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре — на одной окружности. Докажите, что среди этих точек есть две такие, что они лежат по разные стороны от окружности, проходящей через оставшиеся три точки.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 175 176 177 178 179 180 181 >> [Всего задач: 1982]