Версия для печати
Убрать все задачи

---

На шахматной доске 100×100 расставлено 100 не бьющих друг друга ферзей.
Докажите, что в каждом угловом квадрате 50×50 находится хотя бы один ферзь.

   Решение

---

Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Построим треугольник A₁B₁C₁, стороны которого параллельны отрезкам PA, PB, PC
(B₁C₁ || PA,  C₁A₁ || PB,  A₁B₁ || PC). Через точки A₁, B₁, C₁ проведены прямые, параллельные соответственно BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

   Решение

Страница: << 332 333 334 335 336 337 338 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98111

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Доказательство от противного ] [ Связность и разложение на связные компоненты ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

n школьников хотят разделить поровну m одинаковых шоколадок, при этом каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.
  а) При каких n это возможно, если   m = 9?
  б) При каких n и m это возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98130

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Построим треугольник A₁B₁C₁, стороны которого параллельны отрезкам PA, PB, PC
(B₁C₁ || PA,  C₁A₁ || PB,  A₁B₁ || PC). Через точки A₁, B₁, C₁ проведены прямые, параллельные соответственно BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98132

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Круг разбит на n секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек  n + 1.  Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы. Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет занято.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98142

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Раскладки и разбиения ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Пусть n и b – натуральные числа. Через  V(n, b)  обозначим число разложений n на сомножители, каждый из которых больше b (например:
36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12,  так что  V(36, 2) = 5).  Докажите, что  V(n, b) < ⁿ/_b.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98151

Темы:   [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема синусов ] [ Аналитический метод в геометрии ] [ Трапеции (прочее) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Дан угол с вершиной O и внутри него точка A. Рассмотрим такие точки M, N на разных сторонах данного угла, что углы MAO и OAN равны.
Докажите, что все прямые MN проходят через одну точку (или параллельны).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 332 333 334 335 336 337 338 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями