- осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс (5 задач)
- осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс (5 задач)
- осенний тур, основной вариант, 8-9 класс (7 задач)
- осенний тур, основной вариант, 10-11 класс (7 задач)
- весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс (5 задач)
- весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс (5 задач)
- весенний тур, основной вариант, 8-9 класс (6 задач)
- весенний тур, основной вариант, 10-11 класс (7 задач)
Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Числа a0, a1,..., an,... определены следующим образом:
Найдите все натуральные числа k, для которых найдутся такие натуральные числа m и n, что m(m + k) = n(n + 1).
Две окружности пересекаются в точках A и B. Их общая касательная (та, которая ближе к точке B) касается окружностей в точках E и F. Прямая AB пересекает прямую EF в точке M. На продолжении AM за точку M выбрана точка K так, что KM = MA. Прямая KE вторично пересекает окружность, содержащую точку E, в точке C. Прямая KF вторично пересекает окружность, содержащую точку F, в точке D. Докажите, что точки C, D и A лежат на одной прямой.
N точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, попарно соединили отрезками (каждую с каждой). Часть отрезков покрасили красным, остальные – синим. Все красные отрезки образовали замкнутую несамопересекающуюся ломаную, и все синие отрезки – тоже. Найдите все N, при которых это могло получиться.
К натуральному числу a > 1 приписали это же число и получили число b, кратное a². Найдите все возможные значения числа b/a².
Несколько человек делят наследство. Наследник считается бедным, если ему досталось меньше 99 рублей, богатым, – если ему досталось больше 10000 рублей. Величина наследства и число людей таковы, что при любом способе дележа у богатых окажется не меньше денег, чем у бедных. Докажите, что при любом способе дележа у богатых не меньше чем в 100 раз больше денег, чем у бедных.
Дана треугольная пирамида ABCD. В ней R – радиус описанной сферы, r – радиус вписанной сферы, a – длина наибольшего ребра, h – длина наименьшей высоты (на какую-то грань). Докажите, что R/r > a/h.
Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку X. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему X с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.
а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере ⅔ задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере ⅔ школьников. Известно также, что по крайней мере ⅔ школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере ⅔ задач контрольной. Могло ли такое быть?
Изменится ли ответ, если везде в условии заменить ⅔ на б) ¾; в) 7/10?
Выпуклый N-угольник разбит диагоналями на треугольники (при этом диагонали не пересекаются внутри многоугольника). Треугольники раскрашены в чёрный и белый цвета так, что каждые два треугольника с общей стороной раскрашены в разные цвета. Для каждого N найдите максимум разности количества белых и количества чёрных треугольников.
Дан некоторый угол и точка A внутри него. Можно ли провести через точку A три прямые (не проходящие через вершину угла) так, чтобы на каждой из сторон угла одна из точек пересечения этих прямых со стороной лежала посередине между двумя другими точками пересечения прямых с этой же стороной?
Из чисел от 1 до 2n выбрано n + 1 число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, одно из которых делится на другое.
Какое наибольшее число клеток доски 9×9 можно разрезать по обеим диагоналям, чтобы при этом доска не распалась на несколько частей?
Задачи Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]
Задача 98613 |
|
|
Дан картонный прямоугольник со сторонами a см и b см, где b/2 < a < b.
Докажите, что его можно разрезать на три куска, из которых складывается квадрат.
|
|
Решение |
Задача 98616 |
|
|
В однокруговом турнире участвовали 15 команд.
а) Докажите, что хотя бы в одной игре встретились команды, которые
перед этой игрой участвовали в сумме в нечётном числе игр этого турнира.
б) Могла ли такая игра быть единственной?
|
|
|
Решение |
Задача 98618 |
|
|
Какое наибольшее число клеток доски 9×9 можно разрезать по обеим диагоналям, чтобы при этом доска не распалась на несколько частей?
|
|
Решение |
Задача 98619 |
|
|
Трапеция с основаниями AD и BC описана вокруг окружности, E – точка пересечения её диагоналей. Докажите, что угол AED не может быть острым.
|
|
|
Решение |
Задача 108121 |
|
В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что
∠EMK = 90°.
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]
