Hа плоскости проведены шесть прямых. Известно, что для любых трёх из них найдется такая четвёртая из этого же набора прямых, что все четыре будут касаться некоторой окружности. Oбязательно ли все шесть прямых касаются одной и той же окружности?

   Решение

Из точки O на плоскости проведено несколько векторов, сумма длин которых равна 4. Доказать, что можно выбрать несколько векторов (или, быть может, один вектор), длина суммы которых больше 1.

   Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 86]      

Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC и AD — в точке E. Докажите, что окружности с диаметрами AC, BD и EF имеют общую радикальную ось, причем на ней лежат ортоцентры треугольников  ABE, CDE, ADF и BCF.

Прислать комментарий

Решение

Три окружности попарно пересекаются в точках A₁ и A₂, B₁ и B₂, C₁ и C₂. Докажите, что A₁B₂ ^. B₁C₂ ^. C₁A₂ = A₂B₁ ^. B₂C₁ ^. C₂A₁.

Прислать комментарий

Решение

На стороне BC треугольника ABC взята точка A'. Серединный перпендикуляр к отрезку A'B пересекает сторону AB в точке M, а серединный перпендикуляр к отрезку A'C пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что точка, симметричная точке A' относительно прямой MN, лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Решите задачу 1.67, используя свойства радикальной оси.

Прислать комментарий

Решение

Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько попарно непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите, что многоугольник можно разрезать на маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 86]