Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 375 376 377 378 379 380 381 >> [Всего задач: 2003]

Задача 78047

Темы:	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
Темы:	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Трёхчлен ax² + bx + c при всех целых x является точным квадратом. Доказать, что тогда ax² + bx + c = (dx + e)².

Прислать комментарий

Решение

Задача 78050

Тема:

[

Неравенство треугольника

]

Сложность: 5
Классы: 9

Неравенство

Aa(Bb + Cc) + Bb(Cc + Aa) + Cc(Aa + Bb) > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (ABc² + BCa² + CAb²),

где a > 0, b > 0, c > 0 — данные числа, выполняется для всех A > 0, B > 0, C > 0. Можно ли из отрезков a, b, c составить треугольник?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78085

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Итерации	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В прямоугольнике площадью 5 кв. единиц расположены девять прямоугольников, площадь каждого из которых равна единице. Докажите, что площадь общей части некоторых двух прямоугольников больше или равна 1/9.

Прислать комментарий Решение

Задача 78124

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.

Прислать комментарий Решение

Задача 78201

Темы:	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
Темы:	[	Покрытия	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Даны несколько перекрывающихся кругов, занимающие на плоскости площадь, равную 1. Доказать, что из них можно выбрать некоторое количество попарно неперекрывающихся, чтобы их общая площадь была не менее ${\frac{1}{9}}$ .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 375 376 377 378 379 380 381 >> [Всего задач: 2003]