Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Окружность, проходящая через точку C, пересекает стороны BC и AC треугольника ABC в точках A₁ и B₁, а его описанную окружность в точке M. Докажите, что  AB₁M BA₁M.
б) На лучах AC и BC отложены отрезки AA₁ и BB₁, равные полупериметру треугольника ABC. M — такая точка его описанной окружности, что  CM || A₁B₁. Докажите, что  CMO = 90^o, где O — центр вписанной окружности.

   Решение

Страница: << 89 90 91 92 93 94 95 >> [Всего задач: 1984]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64709

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Произведения и факториалы ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Натуральные числа от 1 до 2014 как-то разбили на пары, числа в каждой из пар сложили, а полученные 1007 сумм перемножили.
Мог ли результат оказаться квадратом натурального числа?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64710

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В прямоугольнике ABCD точка M – середина стороны CD. Через точку C провели прямую, перпендикулярную прямой BM, а через точку M – прямую, перпендикулярную диагонали BD. Докажите, что два проведённых перпендикуляра пересекаются на прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64720

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Тригонометрический круг ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Найдите все значения a, для которых найдутся такие x, y и z, что числа cos x, cos y и cos z попарно различны и образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию, при этом числа  cos(x + a),  cos(y + a)  и  cos(z + a)  также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64721

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC. Обозначим через M середину стороны AC, а через P – середину отрезка CM. Описанная окружность треугольника ABP пересекает сторону BC во внутренней точке Q. Докажите, что  ∠ABM = ∠MQP.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65188

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Задачи на проценты и отношения ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Миша заметил, что на электронном табло, показывающем курс доллара к рублю (4 цифры, разделенные десятичной запятой), горят те же самые четыре различные цифры, что и месяц назад, но в другом порядке. При этом курс вырос ровно на 20%. Приведите пример того, как такое могло произойти.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 89 90 91 92 93 94 95 >> [Всего задач: 1984]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями