Страница: << 152 153 154 155 156 157 158 >> [Всего задач: 1982]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116702

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Четность и нечетность ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 11

К каждому члену некоторой конечной последовательности подряд идущих натуральных чисел приписали справа по две цифры и получили последовательность квадратов подряд идущих натуральных чисел. Какое наибольшее число членов могла иметь эта последовательность?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116703

Темы:   [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Частные случаи тетраэдров (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 11

На плоской горизонтальной площадке стоят пять прожекторов, каждый из которых испускает лазерный луч под одним из двух острых углов α или β к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые четыре из этих прожекторов можно повернуть так, что все четыре испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть все пять прожекторов, чтобы все пять лучей пересеклись в одной точке?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116742

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Натуральные числа а, b, c и d таковы, что  ab = cd.  Может ли число  a + b + c + d  оказаться простым?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116977

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 3+ Классы: 5,6,7

Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов.
Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67302

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

Плоскость разбита на части несколькими прямыми, среди которых есть непараллельные. Те части, граница которых состоит из двух лучей, закрасили. После этого проведена ещё одна прямая. Докажите, что, независимо от положения новой прямой, по обе стороны от неё найдутся закрашенные точки.

Пример расположения прямых (без последней прямой) изображен на рисунке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 152 153 154 155 156 157 158 >> [Всего задач: 1982]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями