Пусть A < B < C < 90^o. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC лежит внутри треугольника BOH, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

   Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина) сторона основания равна 6, высота пирамиды SH равна . Через точку B перпендикулярно прямой AS проходит плоскость, которая пересекает отрезок SH в точке O . Точки P и Q расположены на прямых AS и CB соответственно, причём прямая PQ касается сферы радиуса с центром в точке O . Найдите наименьшую длину отрезка PQ .

   Решение

На столе лежат несколько тонких спичек одинаковой длины. Всегда ли можно раскрасить их концы  а) в 2,   б) в 3 цвета так, чтобы два конца каждой спички были разных цветов, а каждые два касающихся конца (разных спичек) – одного и того же цвета?

   Решение

Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 9, 12 и 15, а её высота образует с высотами боковых граней (опущенных из той же вершины) одинаковые углы, не меньшие 60^o . Какой наибольший объём может иметь такая пирамида?

   Решение

Основанием прямоугольного параллелепипеда АВСDA₁B₁C₁D₁ является квадрат АВСD.
Найдите наибольшую возможную величину угла между прямой BD₁ и плоскостью ВDС₁.

   Решение

Отрезок AE является медианой равнобедренного треугольника ABC ( AB= AC) . Окружность проходит через точки A , C , E и пересекает сторону AB в точке D так, что AD:AB=7:9 . Найдите отношение длины окружности к периметру треугольника ABC .

   Решение

В некотором городе сеть автобусных маршрутов устроена так, что каждые два маршрута имеют ровно одну общую остановку, и на каждом маршруте есть хотя бы 4 остановки. Докажите, что все остановки можно распределить между двумя компаниями так, что на каждом маршруте найдутся остановки обеих компаний.

   Решение

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ( S – вершина) сторона основания равна 8 , высота пирамиды SH равна 8. Точки E и F – середины рёбер AB и AD соответственно. Через точку F перпендикулярно прямой SC проходит плоскость, которая пересекает отрезок SH в точке O . Точки P и Q расположены на прямых SC и EF соответственно, причём прямая PQ касается сферы радиуса с центром в точке O . Найдите наименьшую длину отрезка PQ .

   Решение

Окружность с центром на диагонали AC трапеции ABCD ( BC || AD ) проходит через вершины A и B , касается стороны CD в точке C и пересекает основание AD в точке E . Найдите площадь трапеции ABCD , если BC=2 , CD=10 .

   Решение

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = AA1 = 12 и AD = 30 . Точка M расположена в грани ABB1A1 на расстоянии 1 от середины AB и на равных расстояниях от вершин A и B . Точка N лежит в грани DCC1D1 и расположена симметрично точке M относительно центра параллелепипеда. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда между точками M и N .

   Решение

Высота правильной треугольной пирамиды равна высоте её основания, объём пирамиды равен V . Рассматриваются правильные треугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что боковое ребро лежит на высоте основания пирамиды, противоположная этому ребру боковая грань параллельна основанию пирамиды, и вершины этой грани лежат на боковой поверхности пирамиды. Найдите: а) объём той призмы, плоскость боковой грани которой делит высоту пирамиды в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды; б) наибольшее значение объёма рассматриваемых призм.

   Решение

Окружность с центром на диагонали AC трапеции ABCD ( BC || AD ) проходит через вершины A и B , касается стороны CD в точке C и пересекает основание AD в точке E . Найдите площадь трапеции ABCD , если BE=26 , DE=9 .

   Решение

Окружность с центром на диагонали AC трапеции ABCD ( BC || AD ) проходит через вершины A и B , касается стороны CD в точке C и пересекает основание AD в точке E . Найдите площадь трапеции ABCD , если CD=6 , AE=8 .

   Решение

В правильной треугольной пирамиде SABCD с высотой, не меньшей h , расположена полусфера радиуса r= так, что её касаются все боковые грани пирамиды, а центр полусферы лежит на основании ABC пирамиды. Найдите наименьшее возможное значение объёма пирамиды.

   Решение

Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что  MI = ^r/₃  тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.

   Решение

В правильной четырёхугольной пирамиде с высотой, не меньшей h , расположена полусфера радиуса 1 так, что её касаются все боковые грани пирамиды, а центр полусферы лежит на основании пирамиды. Найдите наименьшее возможное значение полной поверхности такой пирамиды.

   Решение

Петя отметил на плоскости несколько (больше двух) точек, все расстояния между которыми различны. Пару отмеченных точек  (A, B)  назовём необычной, если A – самая дальняя от B отмеченная точка, а B – ближайшая к A отмеченная точка (не считая самой точки A). Какое наибольшее возможное количество необычных пар могло получиться у Пети?

   Решение

В вершине A прямоугольника ABCD со сторонами AB = a , BC = b сидит паук, а в противоположной вершине – муха. Их разделяет вертикальная стенка в виде равнобедренного треугольника BMD с основанием BD и углом α при вершине M . Найдите длину кратчайшего пути от паука к мухе, если известно, что паук может двигаться лишь по той части плоскости прямоугольника, где находится стена (включая границу прямоугольника), и по самой стене.

   Решение

Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 12 и 13, а её высота образует с высотами боковых граней (опущенных из той же вершины) одинаковые углы, не меньшие 30^o . Какой наибольший объём может иметь такая пирамида?

   Решение

Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник ABCDEF , а её боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Расстояния от точек B и C до прямой SD равны соответственно и . а) Чему равна площадь треугольника ASD ? б) Найдите отношение наименьшей из площадей треугольных сечений пирамиды, проходящих через ребро SD , к площади треугольника ASD ?

   Решение

В окружности с центром O проведена хорда AB и радиус OK, пересекающий её под прямым углом в точке M. На большей дуге AB окружности выбрана точка P, отличная от середины этой дуги. Прямая PM вторично пересекает окружность в точке Q, а прямая PK пересекает AB в точке R. Докажите, что  KR > MQ.

   Решение

Длины сторон выпуклого четырёхугольника не больше 7. Докажите, что четыре круга с радиусами 5 и центрами в вершинах четырёхугольника полностью покрывают четырёхугольник.

   Решение

Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведённые из вершины прямого угла, равны 5 и 4. Найдите катеты.

   Решение

Точка K является серединой бокового ребра AA1 правильной четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 . На боковой грани DD1C1C взята точка L , на основании ABCD – точка M так, что прямые A1L и KM параллельны. Какой наименьший объём может иметь призма ABCDA1B1C1D1 , если A1L= , KM=1 , ML= ?

   Решение

Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен V , угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30^o . Рассматриваются правильные треугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что одно из боковых рёбер лежит на диагонали основания пирамиды, одна из боковых граней параллельна основанию пирамиды, и вершины этой грани лежат на боковых гранях пирамиды. Найдите: а) объём той призмы, плоскость боковой грани которой делит высоту пирамиды в отношении 2:3, считая от вершины; б) наибольшее значение объёма рассматриваемых призм.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 127]      

В правильной пирамиде SMNPQ ( S – вершина) точки K и F – середины рёбер PQ и QM соответственно, точка E лежит на отрезке SK , причём SK = 4 , SE = . Расстояние от точки S до прямой EF равно . Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса 1 с центром в точке S . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры ABCD такие, что точки A и B лежат на прямой EF , а прямая CD касается сферы в одной из точек отрезка CD . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

Прислать комментарий

Решение

В основании четырёхугольной пирамиды лежит ромб ABCD , в котором BAD = 60^o . Известно, что SA = SC , SD = SB = AB . На ребре DC взята точка E так, что площадь треугольника BSE наименьшая среди площадей всех сечения пирамиды, содержащих отрезок BS и пересекающих отрезок DC . Найдите отношение DE:EC .

Прислать комментарий

Решение

Найдите наибольшее значение объёма пирамиды SABC при следующих ограничениях

SA 4, SB 7, SC 9, AB = 5, BC 6, AC 8.

Прислать комментарий

Решение

Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен V , угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30^o . Рассматриваются правильные треугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что одно из боковых рёбер лежит на диагонали основания пирамиды, одна из боковых граней параллельна основанию пирамиды, и вершины этой грани лежат на боковых гранях пирамиды. Найдите: а) объём той призмы, плоскость боковой грани которой делит высоту пирамиды в отношении 2:3, считая от вершины; б) наибольшее значение объёма рассматриваемых призм.

Прислать комментарий

Решение

Высота правильной треугольной пирамиды равна высоте её основания, объём пирамиды равен V . Рассматриваются правильные треугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что боковое ребро лежит на высоте основания пирамиды, противоположная этому ребру боковая грань параллельна основанию пирамиды, и вершины этой грани лежат на боковой поверхности пирамиды. Найдите: а) объём той призмы, плоскость боковой грани которой делит высоту пирамиды в отношении 3:1, считая от вершины пирамиды; б) наибольшее значение объёма рассматриваемых призм.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 127]