Фильтр
Выбрано 24 задачи Убрать все задачи
Многочлены P, Q и R с действительными коэффициентами, среди которых есть многочлен второй степени и многочлен третьей степени, удовлетворяют равенству P² + Q² = R². Докажите, что все корни одного из многочленов третьей степени – действительные.
Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет рациональным числом.
Докажите, что на окружности с центром в точке лежит не более одной точки целочисленной
решетки.
Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?
Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.
У барона Мюнхгаузена есть 50 гирь. Веса этих гирь – различные натуральные числа, не превосходящие 100, а суммарный вес гирь – чётное число. Барон утверждает, что нельзя часть этих гирь положить на одну чашу весов, а остальные – на другую чашу так, чтобы весы оказались в равновесии. Могут ли эти слова барона быть правдой?
Докажите, что для любого натурального числа N найдутся такие две пары натуральных чисел, что суммы в парах одинаковы, а произведения отличаются ровно в N раз.
Определите, с какой стороны расположен руль у изображенного на рисунке автомобиля.
Приведённые квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что уравнения f(g(x)) = 0 и g(f(x)) = 0 не имеют вещественных корней.
Докажите, что хотя бы одно из уравнений f(f(x)) = 0 и g(g(x)) = 0 тоже не имеет вещественных корней.
Докажите, что стороны любого неравнобедренного треугольника можно либо все увеличить, либо все уменьшить на одну и ту же величину так, чтобы получился прямоугольный треугольник.
Даны точки A(0;0), B(- 2;1), C(3;3), D(2; - 1) и окружность (x - 1)2 + (y + 3)2 = 25. Выясните, где расположены эти точки: на окружности, внутри или вне окружности.
Точка D – середина основания AC равнобедренного треугольника ABC . Точка E – основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC . Отрезки AE и BD пересекаются в точке F . Установите, какой из отрезков BF и BE длиннее.
В республике математиков выбрали число α > 2 и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в αk рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?
Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C – другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает сторону AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.
а) Найдите отношение AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.
б) Сравните площади треугольников ABC и ABF.
Точка O — центр описанной окружности
вписанного четырёхугольника ABCD . Известно,
что ABC >
ADC и
AOC =
BAD = 110o . Докажите, что
AB+AD>CD .
У двух треугольников равны наибольшие стороны и равны наименьшие углы. Строится новый треугольник со сторонами, равными суммам соответствующих сторон данных треугольников (складываются наибольшие стороны двух треугольников, средние по длине стороны и наименьшие стороны). Докажите, что площадь нового треугольника не меньше удвоенной суммы площадей исходных.
Положительные числа х1, ..., хk удовлетворяют неравенствам
а) Докажите, что k > 50.
б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь k.
в) Найти минимальное k, для которого пример возможен.
Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, лежащих по разные стороны от прямой AB. Касательные к этим окружностям в точках C и D пересекаются в точке E. Найдите AE, если AB = 10, AC = 16, AD = 15.
Есть три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Саша взял себе один треугольник, а Боря – два оставшихся. Оказалось, что Боря может приложить (без наложения) один из своих треугольников к другому, и получить треугольник, равный Сашиному. Какой из этих треугольников взял Саша?
Окружность радиуса R касается смежных сторон AB и AD квадрата ABCD , пересекает сторону BC в точке E и проходит через точку C . Найдите BE .
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M . Пусть P и Q — центры окружностей, описанных вокруг треугольников ABM и CDM . Докажите, что AB+CD < 4PQ
Докажите, что число
+
+
+
+
+
+
иррационально.
Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x + 2y - 5 = 0 и x - 3y + 2 = 0 параллельно оси ординат.
Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?
Задачи Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 1036]
Задача 98272 |
|
|
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему
общему кратному?
(Среди чисел могут быть равные.)
|
|
Решение |
Задача 98383 |
|
|
Существует ли такой набор из 10 натуральных чисел, что каждое не делится ни на одно из остальных, а квадрат каждого делится на каждое из остальных?
|
|
|
Решение |
Задача 98470 |
|
|
Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?
|
|
|
Решение |
Задача 110005 |
|
|
Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?
|
|
Решение |
Задача 116210 |
|
|
Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?
|
|
|
Решение |
Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 1036]
