Продолжения биссектрис остроугольного треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что высоты треугольника A₁B₁C₁ лежат на прямых AA₁, BB₁иCC₁.

   Решение

Внутри угла с вершиной O взята некоторая точка M. Луч OM образует со сторонами угла углы, один из которого больше другого на 10^o; A и B — проекции точки M на стороны угла. Найдите угол между прямыми AB и OM.

   Решение

В треугольнике ABC угол B — прямой, величина угол C равен ( > ), точка D — середина гипотенузы. Точка A₁ симметрична точке A относительно прямой BD. Найдите угол BA₁C.

   Решение

Две окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Первая окружность проходит через центр второй и её хорда BD пересекает вторую окружность в точке C и делит дугу ACB в отношении AC : CB = n. В каком отношении точка D делит дугу ADB?

   Решение

Даны треугольник ABC (AB > AC) и описанная около него окружность. Постройте циркулем и линейкой середину дуги BC (не содержащей вершину A), проведя не более двух линий.

   Решение

Пусть $M$ – середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность, проходящая через $C$ и $M$, пересекает прямые $BC$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть $c_1, c_2$ – окружности с центрами $P$, $Q$ и радиусами $BP$, $AQ$ соответственно. Докажите, что $c_1$, $c_2$ и описанная окружность треугольника $ABC$ проходят через одну точку.

   Решение

Даны две точки A и B. Найдите геометрическое место точек, каждая из которых симметрична точке A относительно некоторой прямой, проходящей через точку B.

   Решение

ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. O - центр описанной окружности четырехугольника ABCD.
Докажите, что расстояние от точки O до стороны AB равно половине длины стороны CD.

   Решение

Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.

   Решение

Окружность $\omega$ касается прямых $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Произвольная касательная к $\omega$ пересекает $a$ и $b$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Точки $X'$ и $Y'$ симметричны точкам $X$ и $Y$ относительно $A$ и $B$ соответственно. Найдите геометрическое место проекций центра окружности на $X'Y'$.

   Решение

Найдите геометрическое место середин хорд данной окружности, проходящих через данную точку.

   Решение

Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ ($AD > BC$) пересекаются в точке $P$. На отрезке $AD$ нашлась такая точка $Q$, что $BQ=CQ$. Докажите, что линия центров окружностей, описанных около треугольников $AQC$ и $BQD$, перпендикулярна прямой $PQ$.

   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проводится прямая, пересекающая вторично окружности в точках C и D, а затем через точки C и D проводятся касательные к этим окружностям. Докажите, что точки A, C, D и точка P пересечения касательных лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 1282]      

Найдите геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Прислать комментарий

Решение

Вершина A треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что BAH = OAC.

Прислать комментарий

Решение

Продолжения биссектрис остроугольного треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что высоты треугольника A₁B₁C₁ лежат на прямых AA₁, BB₁иCC₁.

Прислать комментарий

Решение

AM — биссектриса треугольника ABC. Точка D принадлежит стороне AC, причём DMC = BAC. Докажите, что BM = MD.

Прислать комментарий

Решение

Отрезок AB есть диаметр круга, а точка C лежит вне этого круга. Отрезки AC и BC пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите угол CBD, если площади треугольников DCM и ACB относятся как 1:4.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 1282]