Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Геометрические Места Точек >> Биссектриса угла (ГМТ)
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 22 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Каждая грань куба заклеивается двумя равными прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой, один из которых белый, другой — чёрный. Можно ли эти треугольники расположить так, чтобы при каждой вершине куба сумма белых углов была равна сумме чёрных углов?

Вниз   Решение

В равносторонний треугольник ABC вписан прямоугольник PQRS так, что основание прямоугольника RS лежит на стороне BC, а вершины P и Q соответственно на сторонах AB и AC. В каком отношении точка Q должна делить сторону AC, чтобы площадь прямоугольника PQRS составляла $ {\frac{45}{98}}$ площади треугольника ABC?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов.

ВверхВниз   Решение

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки m и n  (m > n).  Найдите другой катет и гипотенузу.

ВверхВниз   Решение

Автор: Грибалко А.В.

Можно ли в каждую клетку таблицы 40×41 записать по целому числу так, чтобы число в каждой клетке равнялось количеству тех соседних с ней по стороне клеток, в которых написано такое же число?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что при a, b, c имеет место неравенство  

ВверхВниз   Решение

На дуге BC описанной окружности равностороннего треугольника ABC взята точка P. Отрезки AP и BC пересекаются в точке Q. Докажите, что  1/PQ = 1/PB + 1/PC.

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Биссектрисы его углов образуют четырёхугольник, вписанный в окружность с центром I, а биссектрисы внешних углов – четырёхугольник, вписанный в окружность с центром J. Докажите, что O – середина отрезка IJ.

ВверхВниз   Решение

Для каких n возможны равенства:   a)  φ(n) = n – 1;   б)  φ(2n) = 2φ(n);   в)  φ(nk) = nk–1φ(n)?

ВверхВниз   Решение

Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18.

ВверхВниз   Решение

Автор: Бакаев Е.В.

Какое наибольшее количество различных целых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма каждых 11 подряд идущих чисел равнялась 100 или 101?

ВверхВниз   Решение

Решите уравнения   а)  φ(x) = x/2;   б)  φ(x) = x/3;    φ(x) = x/4.

ВверхВниз   Решение

Автор: Расторгуев В.

а) Можно ли разрезать квадрат на 4 равнобедренных треугольника, среди которых нет равных?

б) А можно ли разрезать равносторонний треугольник на 4 равнобедренных треугольника, среди которых нет равных?

ВверхВниз   Решение

Однажды осенью Рассеянный Учёный глянул на свои старинные настенные часы и увидел, что на циферблате уснули три мухи. Первая спала в точности на отметке 12 часов, а две другие так же аккуратно расположились на отметках 2 часа и 5 часов. Учёный произвёл измерения и определил, что часовая стрелка мухам не грозит, а вот минутная сметёт их всех по очереди. Найдите вероятность того, что ровно через 40 минут после того, как Учёный заметил мух, ровно две мухи из трёх были сметены минутной стрелкой.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Ященко И.В., Шаповалов А.В.

Все таверны в царстве принадлежат трем фирмам. В целях борьбы с монополиями царь Горох издал следующий указ: каждый день, если у некоторой фирмы оказывается более половины всех таверн и число её таверн делится на 5, то у этой фирмы остается только пятая часть её таверн, а остальные закрываются. Могло ли так случиться, что через три дня у всех фирм стало меньше таверн? (Новые таверны в это время открываться не могут.)

ВверхВниз   Решение

Прямая, проходящая через центры двух окружностей называется их линией центров.
Докажите, что общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров этих окружностей.

ВверхВниз   Решение

Два равносторонних треугольника ABC и CDE расположены по одну сторону от прямой AE и имеют единственную общую точку C. Пусть M, N и K – середины отрезков BD, AC и CE соответственно. Докажите, что треугольник MNK равносторонний.

ВверхВниз   Решение

На конференцию приехали 18 учёных, из которых ровно 10 знают сногсшибательную новость. Во время перерыва (кофе-брейка) все учёные разбиваются на случайные пары, и в каждой паре каждый, кто знает новость, рассказывает эту новость другому, если тот её ещё не знал.
  а) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число учёных, знающих новость, будет равно 13.
  б) Найдите вероятность того, что после кофе-брейка число учёных, знающих новость, будет равно 14.
  в) Обозначим буквой X количество учёных, которые знают сногсшибательную новость после кофе-брейка. Найдите математическое ожидание X.

ВверхВниз   Решение

Автор: Толпыго А.К.

В лес за грибами пошли 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали  n² + 9n – 2  гриба, причём все они собрали поровну грибов.
Кого было больше: мальчиков или девочек?

ВверхВниз   Решение

Автор: Казицына Т.В.

У Пети было несколько сторублёвок, других денег не было. Петя стал покупать книги (каждая книга стоит целое число рублей) и получать сдачу мелочью (монетами в 1 рубль). При покупке дорогой книги (не дешевле 100 рублей) Петя расплачивался только сторублёвками (минимальным необходимым их количеством), а при покупке дешёвой (дешевле 100 рублей) расплачивался мелочью, если хватало, а если не хватало – сторублёвкой. К моменту, когда сторублёвок не осталось, Петя потратил на книги ровно половину своих денег. Мог ли Петя потратить на книги хотя бы 5000 рублей?

ВверхВниз   Решение

Фигура "верблюд" ходит по доске 10 × 10 ходом типа (1, 3) (то есть, она сдвигается сначала на соседнее поле, а затем сдвигается еще на три поля в перпендикулярном направлении; конь, например, ходит ходом типа (1, 2)). Можно ли пройти ходом "верблюда" с какого-то исходного поля на соседнее с ним?

ВверхВниз   Решение

На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 соответственно. Докажите, что если

$\displaystyle \angle$B1A1C = $\displaystyle \angle$BA1C1, $\displaystyle \angle$A1B1C = $\displaystyle \angle$AB1C1 и $\displaystyle \angle$A1C1B = $\displaystyle \angle$AC1B1,

то точки A1, B1 и C1 являются основаниями высот треугольника ABC.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 66]      

  с решениями  

Задача 55514

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке D. Прямая касается одной из этих окружностей в точке A и пересекает другую в точках B и C. Докажите, что точка A равноудалена от прямых BD и CD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53873

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C1, A1 и B1 соответственно. Докажите, что если

$\displaystyle \angle$B1A1C = $\displaystyle \angle$BA1C1, $\displaystyle \angle$A1B1C = $\displaystyle \angle$AB1C1 и $\displaystyle \angle$A1C1B = $\displaystyle \angle$AC1B1,

то точки A1, B1 и C1 являются основаниями высот треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64977

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O. Биссектрисы его углов образуют четырёхугольник, вписанный в окружность с центром I, а биссектрисы внешних углов – четырёхугольник, вписанный в окружность с центром J. Докажите, что O – середина отрезка IJ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53392

Темы:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что  CB = BE.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53993

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Прямая, проходящая через центры двух окружностей называется их линией центров.
Докажите, что общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров этих окружностей.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 66]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .