Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Четырехугольники >> Трапеции >> Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 25 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Белухов Н.

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна  $p$ – 1.

Вниз   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектрисы BD и AF пересекаются в точке O. Отношение площади треугольника DOA к площади треугольника BOF равно $ {\frac{3}{8}}$. Найдите отношение $ {\frac{AC}{AB}}$.

ВверхВниз   Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина, SA = 2 ) точка D – середина ребра SB . Расстояние от точки C до прямой AD равно . Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса с центром в точке C . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры MNPQ такие, что точки P и Q лежат на прямой AD , а прямая MN касается сферы в одной из точек отрезка MN . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

ВверхВниз   Решение

В окружности проведены хорды AB и BC, причём AB = $ \sqrt{3}$, BC = 3$ \sqrt{3}$, $ \angle$ABC = 60o. Найдите длину той хорды окружности, которая делит угол ABC пополам.

ВверхВниз   Решение

По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 600.

ВверхВниз   Решение

Тройки чисел (xn, yn, zn) (n $ \geqslant$ 1) строятся по правилу: x1 = 2, y1 = 4, z1 = 6/7,

xn + 1 = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$,    yn + 1 = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$,    zn + 1 = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$,    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).


а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (xn, yn, zn), для которой xn + yn + zn = 0?

ВверхВниз   Решение

Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

ВверхВниз   Решение

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Докажите, что треугольник с вершинами в центрах описанных окружностей треугольников BHC, AHC и AHB равен треугольнику ABC.

ВверхВниз   Решение

С помощью циркуля и линейки впишите в данный треугольник равнобедренный треугольник данной высоты так, чтобы основание его было параллельно одной из сторон данного треугольника.

ВверхВниз   Решение

Окружность радиуса R, построенная на большем основании AD трапеции ABCD как на диаметре, касается меньшего основания BC в точке C, а боковой стороны AB — в точке A. Найдите диагонали трапеции.

ВверхВниз   Решение

В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны   и  .  Найдите гипотенузу треугольника.

ВверхВниз   Решение

Автор: Ясиновый Э.А.

Обозначим через Tk(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например,    T2(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
   а) Найдите формулы для T2(n) и T3(n).
   б) Докажите, что Tk(n) является многочленом от n степени 2k.
   в) Укажите метод нахождения многочленов Tk(n) при  k = 2, 3, 4, ...  и примените его для отыскания многочленов T4(n) и T5(n).

ВверхВниз   Решение

Чему равно выражение (102+112+122+132+142)/365 ?

ВверхВниз   Решение

Автор: Кожевников П.А.

Выпуклый пятиугольник ABCDE таков, что  AB || CD,  BC || AD,  AC || DE,  CE ⊥ BC.  Докажите, что EC – биссектриса угла BED.

ВверхВниз   Решение

Незнайка взял у Пилюлькина книжку и сосчитал, сколько понадобилось цифр, чтобы пронумеровать все страницы, начиная с первой. У него получилось 100 цифр. Могло ли так быть, или Незнайка ошибся? Если могло, скажите, сколько было страниц.

ВверхВниз   Решение

Предположим, что цепные дроби   сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена  x² – px + q = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328):   xn+1 = xn – = .  Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x1, x2, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC медиана BD равна половине стороны AC. Найдите угол B треугольника.

ВверхВниз   Решение

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и проекции одного из катетов на гипотенузу.

ВверхВниз   Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем  AC1 = AB1, BA1 = BC1 и CA1 = CB1. Докажите, что A1, B1 и C1 — точки касания вписанной окружности со сторонами.

ВверхВниз   Решение

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, у которого сумма тупых углов равна 3000°?

ВверхВниз   Решение

Автор: Мостовой А.

В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AC>AB$ ) провели биссектрису $AK$ и медиану $AT$, последнюю продлили до пересечения с описанной окружностью треугольника в точке $D$. Точка $F$ симметрична $K$ относительно $T$. Даны углы треугольника $ABC$, найдите угол $FDA$.

ВверхВниз   Решение

В десятичной записи числа 1/7 зачеркнули 2013-ю цифру после запятой (а другие цифры не меняли).
Как изменилось число: увеличилось или уменьшилось?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что связный граф с 2n нечётными вершинами можно нарисовать, оторвав карандаш от бумаги ровно  n –1  раз и не проводя никакое ребро дважды.

ВверхВниз   Решение

Куб разбит двумя способами на тетраэдры с вершинами в вершинах данного куба.
Верно ли, что в обоих случаях количество тетраэдров одно и то же?

ВверхВниз   Решение

Диагональ равнобедренной трапеции равна 10 и образует угол, равный 60o, с основанием трапеции. Найдите среднюю линию трапеции.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 293]      

  с решениями  

Задача 54164

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Проекции оснований, сторон или вершин трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Диагональ равнобедренной трапеции равна 10 и образует угол, равный 60o, с основанием трапеции. Найдите среднюю линию трапеции.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54214

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12, если известно, что центр её описанной окружности лежит на большем основании.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54287

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В трапеции большее основание равно 5, одна из боковых сторон равна 3. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна заданной боковой стороне, а другая делит угол между заданной боковой стороной и основанием пополам. Найдите площадь трапеции.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54336

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Окружность с центром в точке пересечения диагоналей KM и LN равнобедренной трапеции KLMN касается меньшего основания LM и боковой стороны MN. Найдите периметр трапеции KLMN, если известно, что её высота равна 36, а радиус окружности равен 11.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54337

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Площадь трапеции ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Окружность с центром в точке пересечения диагоналей AC и BC равнобедренной трапеции ABCD касается меньшего основания BC и боковой стороны AB. Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что её высота равна 16, а радиус окружности равен 3.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 293]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .