Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Треугольники >> Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников. >> Теорема косинусов
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 18 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть точка z движется по единичной окружности против часовой стрелки. Опишите движение следующих точек
  а)  2z2;   б)  z + 3z2;   в) 3z + z2;   г)  z – 3;   д)  (z – i)–1;   е)  (z – 2)–1;   ж)  Rz + ρzn  (ρ < R).

Вниз   Решение

На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD, площадь которого равна 1, взяты точки: K — на AB, L — на BC, M — на CD, N — на AD. При этом $ {\frac{AK}{KB}}$ = 2, $ {\frac{BL}{LC}}$ = $ {\frac{1}{3}}$, $ {\frac{CM}{MD}}$ = 1, $ {\frac{DN}{NA}}$ = $ {\frac{1}{5}}$. Найдите площадь шестиугольника AKLCMN.

ВверхВниз   Решение

Автор: Скопенков М.Б.

Дан многоугольник, у которого каждые две соседние стороны перпендикулярны. Назовём две его вершины не дружными, если биссектрисы многоугольника, выходящие из этих вершин, перпендикулярны. Докажите, что для любой вершины количество не дружных с ней вершин чётно.

ВверхВниз   Решение

Муха двигается из начала координат только вправо или вверх по линиям целочисленной сетки (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.
  а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.
  б) Найдите математическое ожидание ординаты Мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Дынкин Е.Б., Молчанов С.А., Розенталь А.Л., Толпыго А.К.

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.

ВверхВниз   Решение

а) Дано шестизначное число  abcdef,  причём  abc + def  делится на 37. Докажите, что и само число делится на 37.
б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 37.

ВверхВниз   Решение

Правильный треугольник ABC со стороной a и два ромба ACMN и ABFE расположены так, что точки M и B лежат по разные стороны от прямой AC, а точки F и C — по разные стороны от прямой AB. Найдите расстояние между центрами ромбов, если $ \angle$EAB = $ \angle$ACM = $ \alpha$ ( $ \alpha$ < 90o).

ВверхВниз   Решение

Точка O — центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC (AB = BC). Прямая AO пересекает отрезок BC в точке M. Найдите углы и площадь треугольника ABC, если AO = 3, OM = $ {\frac{27}{11}}$.

ВверхВниз   Решение

Сформулируйте и докажите признаки делимости на 2n и 5n.

ВверхВниз   Решение

В треугольник со сторонами AB = 4, BC = 2, AC = 3 вписана окружность. Найдите площадь треугольника AMN, где M, N — точки касания этой окружности со сторонами AB и AC соответственно.

ВверхВниз   Решение

На плоскости заданы две пересекающиеся прямые, и на них отмечено по одной точке (D и E). Постройте треугольник ABC, у которого биссектрисы CD и AE лежат на данных прямых, а основания этих биссектрис— данные точки D и E.

ВверхВниз   Решение

Постройте треугольник ABC, зная три точки A1, B1, C1, в которых биссектрисы его углов пересекают описанную окружность.

ВверхВниз   Решение

Автор: Белухов Н.

Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A1, B1 и C1, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно, причём  BD + DE = BC  и  BE + ED = AB.  Известно, что четырёхугольник ADEC – вписанный. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

ВверхВниз   Решение

Среди всех треугольников с заданными сторонами AB и AC найдите тот, у которого наибольшая площадь.

ВверхВниз   Решение

Прямая CE пересекает сторону AB треугольника ABC в точке E, а прямая BD пересекает сторону AC в точке D. Прямые CE и BD пересекаются в точке O. Площади треугольников BOE, BOC, COD равны соответственно 15, 30, 24. Найдите угол DOE, если известно, что OE = 4, OD = 4$ \sqrt{3}$, а угол BOE — острый.

ВверхВниз   Решение

Потроить треугольник по высоте к стороне а ha, медиане к стороне a ma и $ \angle$A.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC угол при вершине A равен 60o. Через точки B, C и точку D, лежащую на стороне AB, проведена окружность, пересекающая сторону AC в точке E. Найдите AE, если AD = 3, BD = 1 и EC = 4. Найдите радиус окружности.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 449]      

  с решениями  

Задача 54395

Темы:   [ Теорема косинусов ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Правильный треугольник ABC со стороной a и два ромба ACMN и ABFE расположены так, что точки M и B лежат по разные стороны от прямой AC, а точки F и C — по разные стороны от прямой AB. Найдите расстояние между центрами ромбов, если $ \angle$EAB = $ \angle$ACM = $ \alpha$ ( $ \alpha$ < 90o).

Прислать комментарий     Решение

Задача 54714

Темы:   [ Теорема косинусов ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Точка M лежит на стороне BC параллелограмма ABCD с углом 45o при вершине A, причём $ \angle$AMD = 90o и BM : MC = 2 : 3. Найдите отношение соседних сторон параллелограмма.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54808

Темы:   [ Теорема косинусов ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольник со сторонами AB = 4, BC = 2, AC = 3 вписана окружность. Найдите площадь треугольника AMN, где M, N — точки касания этой окружности со сторонами AB и AC соответственно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54809

Темы:   [ Теорема косинусов ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольник со сторонами AB = 8, BC = 6, AC = 4 вписана окружность. Найдите длину отрезка DE, где D и E — точки касания этой окружности со сторонами AB и AC соответственно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54869

Темы:   [ Теорема косинусов ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол при вершине A равен 60o. Через точки B, C и точку D, лежащую на стороне AB, проведена окружность, пересекающая сторону AC в точке E. Найдите AE, если AD = 3, BD = 1 и EC = 4. Найдите радиус окружности.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 449]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .